MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylthlem1 Unicode version

Theorem taylthlem1 19768
Description: Lemma for taylth 19770. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that  S  =  RR, we can only do this part generically, and for taylth 19770 itself we must restrict to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylthlem1.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylthlem1.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylthlem1.d  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 N )  =  A )
taylthlem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
taylthlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
taylthlem1.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
taylthlem1.r  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
taylthlem1.i  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
taylthlem1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    B, n, x, y    n, F, x, y    ph, n, x, y   
n, N, x, y    S, n, x, y    T, n, x, y
Allowed substitution hints:    R( x, y, n)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 elfz1end 10836 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( 1 ... N
) )
31, 2sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
4 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  ( N  -  m )  =  ( N  - 
1 ) )
54fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( S  D n F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )
65fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )
74fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) )
87fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )
96, 8oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) ) )
10 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
1 ) )
119, 10oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) )
1211mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) )
1312oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) )
1413eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  1  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
16 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  n ) )
1716fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( S  D n F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) )
1817fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x ) )
1916fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n ) ) )
2019fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n ) ) `
 x ) )
2118, 20oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n ) ) `
 x ) ) )
22 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
n ) )
2321, 22oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) )
2423mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ n ) ) ) )
25 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  n )
) `  x )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y ) )
26 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  x )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n ) ) `
 y ) )
2725, 26oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  x )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n )
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n ) ) `
 y ) ) )
28 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  B )  =  ( y  -  B ) )
2928oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  B
) ^ n )  =  ( ( y  -  B ) ^
n ) )
3027, 29oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) )
3130cbvmptv 4127 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) )  =  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) )
3224, 31syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) )  =  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) )
3332oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) ) lim CC  B ) )
3433eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  <->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) )
3534imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) ) lim CC  B ) ) ) )
36 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  ( n  +  1
) ) )
3736fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( S  D n F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) )
3837fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x ) )
3936fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) )
4039fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x ) )
4138, 40oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x ) ) )
42 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
( n  +  1 ) ) )
4341, 42oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) )
4443mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
4544oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
4645eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) )
4746imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
48 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  N  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  N ) )
4948fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
( S  D n F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) )
5049fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )
5148fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N ) ) )
5251fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )
5350, 52oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) ) )
54 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^ N ) )
5553, 54oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) )
5655mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) )
5756oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) ) lim CC  B ) )
5857eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) ) )
5958imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) ) lim CC  B ) ) ) )
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
61 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  =  ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 B ) )
62 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 B ) )
6361, 62oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 B ) ) )
64 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) )
65 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 B ) )  e.  _V
6663, 64, 65fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  y ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  B ) ) )
6760, 66syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 B ) ) )
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
711nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
72 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7371, 72syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
74 eluzfz2b 10821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
7573, 74sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 N )  =  A )
7760, 76eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 19767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  B )
)
8079oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  B ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  B ) ) )
81 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  _V
8281a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
83 elpm2r 6804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
85 dvnf 19292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 N ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) --> CC )
8668, 84, 71, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  N
) : dom  (
( S  D n F ) `  N
) --> CC )
8786, 77ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  B )  e.  CC )
8887subidd 9161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  B ) )  =  0 )
8967, 80, 883eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0 )
90 funmpt 5306 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )
91 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) )  e.  _V
9291, 64dmmpti 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )  =  A
9360, 92syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) ) )
94 funbrfvb 5581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) )  /\  B  e. 
dom  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0  <->  B (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) ) 0 ) )
9590, 93, 94sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0  <->  B (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) ) 0 ) )
9689, 95mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) 0 )
97 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
981, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
99 dvnf 19292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) : dom  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) --> CC )
10068, 84, 98, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) : dom  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) --> CC )
101 dvnbss 19293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) )  C_  dom  F )
10268, 84, 98, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) )  C_  dom  F )
103 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
10469, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
105102, 104sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) )  C_  A )
106 fzo0end 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
107 elfzofz 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
1081, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
109 dvn2bss 19295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  N
)  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )
11068, 84, 108, 109syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 N )  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )
11176, 110eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )
112105, 111eqssd 3209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) )  =  A )
113112feq2d 5396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) --> CC  <->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) : A --> CC ) )
114100, 113mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) : A --> CC )
115114ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
11676feq2d 5396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 N ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) --> CC  <->  ( ( S  D n F ) `  N
) : A --> CC ) )
11786, 116mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  N
) : A --> CC )
118117ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  e.  CC )
1191nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
120 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
121120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
122119, 121npcand 9177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
123122fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N ) )
124 recnprss 19270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
12568, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
126 dvnp1 19290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  D n F ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
127125, 84, 98, 126syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
128123, 127eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  N
)  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
129117feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  N
)  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )
) )
130114feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )
131130oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )
132128, 129, 1313eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )
) )
13370, 125sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
134133sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  CC )
135 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
136135a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
137 elpm2r 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  -> 
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )
13882, 68, 114, 70, 137syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )
139 dvn1 19291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1 )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
140125, 138, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
141127, 123eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N
) )
142140, 141eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  ( ( S  D n F ) `  N
) )
143142dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1 )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  N ) )
14477, 143eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1
) )
145 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B )
14668, 114, 70, 136, 144, 145taylpf 19761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) : CC --> CC )
147121, 119pncan3d 9176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  =  N )
148147oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
149148, 78syl6reqr 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F ) B ) )
150149oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  D n T )  =  ( CC  D n ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F
) B ) ) )
151150fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( ( CC  D n ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 ( N  - 
1 ) ) )
152147fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
1  +  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N ) )
153152dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
15477, 153eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  (
1  +  ( N  -  1 ) ) ) )
15568, 69, 70, 98, 136, 154dvntaylp 19766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( 1  +  ( N  - 
1 ) ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) )
156151, 155eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) )
157156feq1d 5395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) : CC --> CC  <->  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) : CC --> CC ) )
158146, 157mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) : CC --> CC )
159158ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
160134, 159syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
161 0nn0 9996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
162161a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
163 elpm2r 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  D n F ) `
 N ) : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  -> 
( ( S  D n F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )
16482, 68, 117, 70, 163syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )
165 dvn0 19289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  D n F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  N ) ) `  0 )  =  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
166125, 164, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 N ) ) `
 0 )  =  ( ( S  D n F ) `  N
) )
167166dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  N ) ) `  0 )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  N ) )
16877, 167eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  N
) ) `  0
) )
169 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N ) ) B )  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N
) ) B )
17068, 117, 70, 162, 168, 169taylpf 19761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N
) ) B ) : CC --> CC )
171119addid2d 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
172171oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
173172, 78syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B )  =  T )
174173oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  D n
( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B ) )  =  ( CC  D n T ) )
175174fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( 0  +  N ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  N
)  =  ( ( CC  D n T ) `  N ) )
176171fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
0  +  N ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N ) )
177176dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( 0  +  N ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
17877, 177eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  (
0  +  N ) ) )
17968, 69, 70, 71, 162, 178dvntaylp 19766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( 0  +  N ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  N
)  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N ) ) B ) )
180175, 179eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  N
)  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N ) ) B ) )
181180feq1d 5395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) : CC --> CC  <->  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N ) ) B ) : CC --> CC ) )
182170, 181mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  N
) : CC --> CC )
183182ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )  e.  CC )
184134, 183syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )  e.  CC )
185125sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
186185, 159syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
187185, 183syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )  e.  CC )
188 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
189188cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
190 toponmax 16682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
191189, 190mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
192 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  CC  <->  ( S  i^i  CC )  =  S )
193125, 192sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  CC )  =  S )
194 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
195194a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
196 mapsspm 6817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
^m  CC )  C_  ( CC  ^pm  CC )
19768, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 19761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T : CC --> CC )
19881, 81elmap 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  ( CC  ^m  CC )  <->  T : CC --> CC )
199197, 198sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  ( CC 
^m  CC ) )
200196, 199sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  T  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
201 dvnp1 19290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  T  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( N  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( CC  D n T ) `
 ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( CC  _D  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
202195, 200, 98, 201syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( CC 
_D  ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
203122fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( CC  D n T ) `  N ) )
204202, 203eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( CC  D n T ) `  N
) )
205158feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )
206205oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )
207182feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  N
)  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )
208204, 206, 2073eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )
209188, 68, 191, 193, 159, 183, 208dvmptres3 19321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )
210 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
211 resttopon 16908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
212189, 125, 211sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
213 topontop 16680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
214212, 213syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
215 toponuni 16681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )
216212, 215syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
21770, 216sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
218 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  S )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S )
219218ntrss2 16810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
220214, 217, 219syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
221141dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  N
) )
222221, 76eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  A )
223125, 114, 70, 210, 188dvbssntr 19266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )  C_  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A ) )
224222, 223eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  A
) )
225220, 224eqssd 3209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  =  A )
22668, 186, 187, 209, 70, 210, 188, 225dvmptres2 19327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )
22768, 115, 118, 132, 160, 184, 226dvmptsub 19332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  y ) ) ) )
228227breqd 4050 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) ) 0  <->  B
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  y ) ) ) 0 ) )
22996, 228mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) ) 0 )
230 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) )
231115, 160subcld 9173 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) )  e.  CC )
232 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) )
233231, 232fmptd 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) : A --> CC )
234210, 188, 230, 125, 233, 70eldv 19264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) ) 0  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  A
)  /\  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
235229, 234mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  /\  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) ) )
236235simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
237 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  ->  x  e.  A )
238 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )
239 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )
240238, 239oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) ) )
241 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  e.  _V
242240, 232, 241fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) ) )
243 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) )
244 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) )
245243, 244oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) ) )
246 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) )  e.  _V
247245, 232, 246fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) ) )
24860, 247syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) ) )
24968, 69, 70, 108, 77, 78dvntaylp0 19767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )
250249oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) ) )
251114, 60ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  e.  CC )
252251subidd 9161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) )  =  0 )
253248, 250, 2523eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0 )
254242, 253oveqan12rd 5894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  -  0 ) )
255114ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  e.  CC )
256133sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
257158ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  e.  CC )
258256, 257syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  e.  CC )
259255, 258subcld 9173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  e.  CC )
260259subid1d 9162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  - 
0 )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) ) )
261254, 260eqtr2d 2329 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  =  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) ) )
262237, 261sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  =  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) ) )
263 difss 3316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
264263, 133syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
265264sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  CC )
266133, 60sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
267266adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
268265, 267subcld 9173 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( x  -  B
)  e.  CC )
269268exp1d 11256 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( x  -  B ) ^ 1 )  =  ( x  -  B ) )
270262, 269oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
1 ) )  =  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  x
)  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) )
271270mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) )
272271oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
273236, 272eleqtrrd 2373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
1 ) ) ) lim
CC  B ) )
274273a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
1 ) ) ) lim
CC  B ) ) )
275 taylthlem1.i . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
276275expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( 0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) )
277276expcom 424 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ph  ->  ( 0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
278277a2d 23 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( ph  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) )  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
( n  +  1 ) ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
27915, 35, 47, 59, 274, 278fzind2 10939 . . 3  |-  ( N  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) ) )
2803, 279mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim
CC  B ) )
281119subidd 9161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
282281fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N )
)  =  ( ( S  D n F ) `  0 ) )
283 dvn0 19289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  D n F ) `  0
)  =  F )
284125, 84, 283syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  0
)  =  F )
285282, 284eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N )
)  =  F )
286285fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
287281fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
)  =  ( ( CC  D n T ) `  0 ) )
288 dvn0 19289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  T  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  (
( CC  D n T ) `  0
)  =  T )
289194, 200, 288sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  0
)  =  T )
290287, 289eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
)  =  T )
291290fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  =  ( T `  x ) )
292286, 291oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  =  ( ( F `  x )  -  ( T `  x )
) )
293292oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) )  =  ( ( ( F `
 x )  -  ( T `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
294293mpteq2dv 4123 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( T `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) )
295 taylthlem1.r . . . 4  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
296294, 295syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )  =  R )
297296oveq1d 5889 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B )  =  ( R lim CC  B ) )
298280, 297eleqtrd 2372 1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788    ^pm cpm 6789   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886   ^cexp 11120   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   intcnt 16770   lim CC climc 19228    _D cdv 19229    D ncdvn 19230   Tayl ctayl 19748
This theorem is referenced by:  taylth  19770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tsms 17825  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-dvn 19234  df-tayl 19750
  Copyright terms: Public domain W3C validator