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Theorem taylthlem1 20291
 Description: Lemma for taylth 20293. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that , we can only do this part generically, and for taylth 20293 itself we must restrict to . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s
taylthlem1.f
taylthlem1.a
taylthlem1.d
taylthlem1.n
taylthlem1.b
taylthlem1.t Tayl
taylthlem1.r
taylthlem1.i ..^ lim lim
Assertion
Ref Expression
taylthlem1 lim
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4
2 elfz1end 11083 . . . 4
31, 2sylib 190 . . 3
4 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . 12
54fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11
65fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10
74fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11
87fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10
96, 8oveq12d 6101 . . . . . . . . 9
10 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
119, 10oveq12d 6101 . . . . . . . 8
1211mpteq2dv 4298 . . . . . . 7
1312oveq1d 6098 . . . . . 6 lim lim
1413eleq2d 2505 . . . . 5 lim lim
1514imbi2d 309 . . . 4 lim lim
16 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . 13
1716fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12
1817fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11
1916fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12
2019fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11
2118, 20oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10
22 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10
2321, 22oveq12d 6101 . . . . . . . . 9
2423mpteq2dv 4298 . . . . . . . 8
25 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11
26 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11
2725, 26oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10
28 oveq1 6090 . . . . . . . . . . 11
2928oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10
3027, 29oveq12d 6101 . . . . . . . . 9
3130cbvmptv 4302 . . . . . . . 8
3224, 31syl6eq 2486 . . . . . . 7
3332oveq1d 6098 . . . . . 6 lim lim
3433eleq2d 2505 . . . . 5 lim lim
3534imbi2d 309 . . . 4 lim lim
36 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . 12
3736fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11
3837fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10
3936fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11
4039fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10
4138, 40oveq12d 6101 . . . . . . . . 9
42 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
4341, 42oveq12d 6101 . . . . . . . 8
4443mpteq2dv 4298 . . . . . . 7
4544oveq1d 6098 . . . . . 6 lim lim
4645eleq2d 2505 . . . . 5 lim lim
4746imbi2d 309 . . . 4 lim lim
48 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . 12
4948fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11
5049fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10
5148fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11
5251fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10
5350, 52oveq12d 6101 . . . . . . . . 9
54 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
5553, 54oveq12d 6101 . . . . . . . 8
5655mpteq2dv 4298 . . . . . . 7
5756oveq1d 6098 . . . . . 6 lim lim
5857eleq2d 2505 . . . . 5 lim lim
5958imbi2d 309 . . . 4 lim lim
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12
61 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14
62 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . 13
64 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
65 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 64, 65fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . 12
6760, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13
711nnnn0d 10276 . . . . . . . . . . . . . . 15
72 nn0uz 10522 . . . . . . . . . . . . . . 15
7371, 72syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . 14
74 eluzfz2b 11068 . . . . . . . . . . . . . 14
7573, 74sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14
7760, 76eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . 13
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13 Tayl
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 20290 . . . . . . . . . . . 12
8079oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11
81 cnex 9073 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 elpm2r 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14
85 dvnf 19815 . . . . . . . . . . . . . 14
8668, 84, 71, 85syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
8786, 77ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12
8887subidd 9401 . . . . . . . . . . 11
8967, 80, 883eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10
90 funmpt 5491 . . . . . . . . . . 11
91 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . 13
9291, 64dmmpti 5576 . . . . . . . . . . . 12
9360, 92syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . 11
94 funbrfvb 5771 . . . . . . . . . . 11
9590, 93, 94sylancr 646 . . . . . . . . . 10
9689, 95mpbid 203 . . . . . . . . 9
97 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . . . . . . . 15
981, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
99 dvnf 19815 . . . . . . . . . . . . . 14
10068, 84, 98, 99syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
101 dvnbss 19816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10268, 84, 98, 101syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10469, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105102, 104sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . . . 15
106 fzo0end 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
107 elfzofz 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
1081, 106, 1073syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109 dvn2bss 19818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11068, 84, 108, 109syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11176, 110eqsstr3d 3385 . . . . . . . . . . . . . . 15
112105, 111eqssd 3367 . . . . . . . . . . . . . 14
113112feq2d 5583 . . . . . . . . . . . . 13
114100, 113mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12
115114ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . 11
11676feq2d 5583 . . . . . . . . . . . . 13
11786, 116mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12
118117ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . 11
1191nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15
120 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
122119, 121npcand 9417 . . . . . . . . . . . . . 14
123122fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13
124 recnprss 19793 . . . . . . . . . . . . . . 15
12568, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
126 dvnp1 19813 . . . . . . . . . . . . . 14
127125, 84, 98, 126syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
128123, 127eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12
129117feqmptd 5781 . . . . . . . . . . . 12
130114feqmptd 5781 . . . . . . . . . . . . 13
131130oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12
132128, 129, 1313eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . . 11
13370, 125sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . 13
134133sselda 3350 . . . . . . . . . . . 12
135 1nn0 10239 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
137 elpm2r 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13882, 68, 114, 70, 137syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139 dvn1 19814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140125, 138, 139syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141127, 123eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142140, 141eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143142dmeqd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14477, 143eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15
145 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl Tayl
14668, 114, 70, 136, 144, 145taylpf 20284 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
147121, 119pncan3d 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148147oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Tayl Tayl
149148, 78syl6reqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tayl
150149oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tayl
151150fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl
152147fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
153152dmeqd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15477, 153eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15568, 69, 70, 98, 136, 154dvntaylp 20289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl Tayl
156151, 155eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl
157156feq1d 5582 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
158146, 157mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13
159158ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . 12
160134, 159syldan 458 . . . . . . . . . . 11
161 0nn0 10238 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
163 elpm2r 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16482, 68, 117, 70, 163syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165 dvn0 19812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166125, 164, 165syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167166dmeqd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16877, 167eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15
169 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl Tayl
17068, 117, 70, 162, 168, 169taylpf 20284 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
171119addid2d 9269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
172171oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Tayl Tayl
173172, 78syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tayl
174173oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tayl
175174fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl
176171fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
177176dmeqd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17877, 177eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17968, 69, 70, 71, 162, 178dvntaylp 20289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl Tayl
180175, 179eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl
181180feq1d 5582 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
182170, 181mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13
183182ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . 12
184134, 183syldan 458 . . . . . . . . . . 11
185125sselda 3350 . . . . . . . . . . . . 13
186185, 159syldan 458 . . . . . . . . . . . 12
187185, 183syldan 458 . . . . . . . . . . . 12
188 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
189188cnfldtopon 18819 . . . . . . . . . . . . . 14 fld TopOn
190 toponmax 16995 . . . . . . . . . . . . . 14 fld TopOn fld
191189, 190mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13 fld
192 df-ss 3336 . . . . . . . . . . . . . 14
193125, 192sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13
194 ssid 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
196 mapsspm 7049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19768, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 20284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19881, 81elmap 7044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
199197, 198sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
200196, 199sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16
201 dvnp1 19813 . . . . . . . . . . . . . . . 16
202195, 200, 98, 201syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
203122fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15
204202, 203eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
205158feqmptd 5781 . . . . . . . . . . . . . . 15
206205oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14
207182feqmptd 5781 . . . . . . . . . . . . . 14
208204, 206, 2073eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . 13
209188, 68, 191, 193, 159, 183, 208dvmptres3 19844 . . . . . . . . . . . 12
210 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12 fldt fldt
211 resttopon 17227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld TopOn fldt TopOn
212189, 125, 211sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt TopOn
213 topontop 16993 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt TopOn fldt
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
215 toponuni 16994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fldt TopOn fldt
216212, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt
21770, 216sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
218 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt fldt
219218ntrss2 17123 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt fldt fldt
220214, 217, 219syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
221141dmeqd 5074 . . . . . . . . . . . . . . 15
222221, 76eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14
223125, 114, 70, 210, 188dvbssntr 19789 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
224222, 223eqsstr3d 3385 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
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