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Theorem taylthlem1 19752
 Description: Lemma for taylth 19754. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that , we can only do this part generically, and for taylth 19754 itself we must restrict to . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s
taylthlem1.f
taylthlem1.a
taylthlem1.d
taylthlem1.n
taylthlem1.b
taylthlem1.t Tayl
taylthlem1.r
taylthlem1.i ..^ lim lim
Assertion
Ref Expression
taylthlem1 lim
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4
2 elfz1end 10820 . . . 4
31, 2sylib 188 . . 3
4 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12
54fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11
65fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10
74fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11
87fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10
96, 8oveq12d 5876 . . . . . . . . 9
10 oveq2 5866 . . . . . . . . 9
119, 10oveq12d 5876 . . . . . . . 8
1211mpteq2dv 4107 . . . . . . 7
1312oveq1d 5873 . . . . . 6 lim lim
1413eleq2d 2350 . . . . 5 lim lim
1514imbi2d 307 . . . 4 lim lim
16 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13
1716fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12
1817fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11
1916fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12
2019fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11
2118, 20oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10
22 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10
2321, 22oveq12d 5876 . . . . . . . . 9
2423mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8
25 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
26 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
2725, 26oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10
28 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11
2928oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10
3027, 29oveq12d 5876 . . . . . . . . 9
3130cbvmptv 4111 . . . . . . . 8
3224, 31syl6eq 2331 . . . . . . 7
3332oveq1d 5873 . . . . . 6 lim lim
3433eleq2d 2350 . . . . 5 lim lim
3534imbi2d 307 . . . 4 lim lim
36 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12
3736fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11
3837fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10
3936fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11
4039fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10
4138, 40oveq12d 5876 . . . . . . . . 9
42 oveq2 5866 . . . . . . . . 9
4341, 42oveq12d 5876 . . . . . . . 8
4443mpteq2dv 4107 . . . . . . 7
4544oveq1d 5873 . . . . . 6 lim lim
4645eleq2d 2350 . . . . 5 lim lim
4746imbi2d 307 . . . 4 lim lim
48 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12
4948fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11
5049fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10
5148fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11
5251fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10
5350, 52oveq12d 5876 . . . . . . . . 9
54 oveq2 5866 . . . . . . . . 9
5553, 54oveq12d 5876 . . . . . . . 8
5655mpteq2dv 4107 . . . . . . 7
5756oveq1d 5873 . . . . . 6 lim lim
5857eleq2d 2350 . . . . 5 lim lim
5958imbi2d 307 . . . 4 lim lim
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12
61 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
62 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13
64 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13
65 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 64, 65fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12
6760, 66syl 15 . . . . . . . . . . 11
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13
711nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15
72 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15
7371, 72syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . 14
74 eluzfz2b 10805 . . . . . . . . . . . . . 14
7573, 74sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14
7760, 76eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13 Tayl
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 19751 . . . . . . . . . . . 12
8079oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11
81 cnex 8818 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 elpm2r 6788 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14
85 dvnf 19276 . . . . . . . . . . . . . 14
8668, 84, 71, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
8786, 77ffvelrnd 5666 . . . . . . . . . . . 12
8887subidd 9145 . . . . . . . . . . 11
8967, 80, 883eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10
90 funmpt 5290 . . . . . . . . . . 11
91 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13
9291, 64dmmpti 5373 . . . . . . . . . . . 12
9360, 92syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . 11
94 funbrfvb 5565 . . . . . . . . . . 11
9590, 93, 94sylancr 644 . . . . . . . . . 10
9689, 95mpbid 201 . . . . . . . . 9
97 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15
981, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
99 dvnf 19276 . . . . . . . . . . . . . 14
10068, 84, 98, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
101 dvnbss 19277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10268, 84, 98, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10469, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105102, 104sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15
106 fzo0end 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
107 elfzofz 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
1081, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109 dvn2bss 19279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11068, 84, 108, 109syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11176, 110eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15
112105, 111eqssd 3196 . . . . . . . . . . . . . 14
113112feq2d 5380 . . . . . . . . . . . . 13
114100, 113mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
115114ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . 11
11676feq2d 5380 . . . . . . . . . . . . 13
11786, 116mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
118117ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . 11
1191nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . 15
120 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
122119, 121npcand 9161 . . . . . . . . . . . . . 14
123122fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13
124 recnprss 19254 . . . . . . . . . . . . . . 15
12568, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
126 dvnp1 19274 . . . . . . . . . . . . . 14
127125, 84, 98, 126syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
128123, 127eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12
129117feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . 12
130114feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . 13
131130oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12
132128, 129, 1313eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . 11
13370, 125sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . 13
134133sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12
135 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136135a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
137 elpm2r 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13882, 68, 114, 70, 137syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139 dvn1 19275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140125, 138, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141127, 123eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142140, 141eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143142dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14477, 143eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15
145 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl Tayl
14668, 114, 70, 136, 144, 145taylpf 19745 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
147121, 119pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148147oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Tayl Tayl
149148, 78syl6reqr 2334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tayl
150149oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tayl
151150fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl
152147fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
153152dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15477, 153eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15568, 69, 70, 98, 136, 154dvntaylp 19750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl Tayl
156151, 155eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl
157156feq1d 5379 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
158146, 157mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13
159158ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . . 12
160134, 159syldan 456 . . . . . . . . . . 11
161 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162161a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
163 elpm2r 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16482, 68, 117, 70, 163syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165 dvn0 19273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166125, 164, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167166dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16877, 167eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15
169 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl Tayl
17068, 117, 70, 162, 168, 169taylpf 19745 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
171119addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
172171oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Tayl Tayl
173172, 78syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tayl
174173oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tayl
175174fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl
176171fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
177176dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17877, 177eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17968, 69, 70, 71, 162, 178dvntaylp 19750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tayl Tayl
180175, 179eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tayl
181180feq1d 5379 . . . . . . . . . . . . . 14 Tayl
182170, 181mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13
183182ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . . 12
184134, 183syldan 456 . . . . . . . . . . 11
185125sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13
186185, 159syldan 456 . . . . . . . . . . . 12
187185, 183syldan 456 . . . . . . . . . . . 12
188 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
189188cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . 14 fld TopOn
190 toponmax 16666 . . . . . . . . . . . . . 14 fld TopOn fld
191189, 190mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 fld
192 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . 14
193125, 192sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13
194 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
195194a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
196 mapsspm 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19768, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 19745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19881, 81elmap 6796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
199197, 198sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
200196, 199sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16
201 dvnp1 19274 . . . . . . . . . . . . . . . 16
202195, 200, 98, 201syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
203122fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15
204202, 203eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14
205158feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15
206205oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14
207182feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . 14
208204, 206, 2073eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . 13
209188, 68, 191, 193, 159, 183, 208dvmptres3 19305 . . . . . . . . . . . 12
210 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12 fldt fldt
211 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld TopOn fldt TopOn
212189, 125, 211sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt TopOn
213 topontop 16664 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt TopOn fldt
214212, 213syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
215 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fldt TopOn fldt
216212, 215syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt
21770, 216sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
218 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt fldt
219218ntrss2 16794 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt fldt fldt
220214, 217, 219syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
221141dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . 15
222221, 76eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14
223125, 114, 70, 210, 188dvbssntr 19250 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
224222, 223eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
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