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Theorem taylthlem1 19752
Description: Lemma for taylth 19754. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that  S  =  RR, we can only do this part generically, and for taylth 19754 itself we must restrict to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylthlem1.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylthlem1.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylthlem1.d  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 N )  =  A )
taylthlem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
taylthlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
taylthlem1.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
taylthlem1.r  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
taylthlem1.i  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
taylthlem1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    B, n, x, y    n, F, x, y    ph, n, x, y   
n, N, x, y    S, n, x, y    T, n, x, y
Allowed substitution hints:    R( x, y, n)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 elfz1end 10820 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( 1 ... N
) )
31, 2sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
4 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  ( N  -  m )  =  ( N  - 
1 ) )
54fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( S  D n F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )
65fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )
74fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) )
87fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )
96, 8oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) ) )
10 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
1 ) )
119, 10oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) )
1211mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) )
1312oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) )
1413eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  1  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
16 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  n ) )
1716fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( S  D n F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) )
1817fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x ) )
1916fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n ) ) )
2019fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n ) ) `
 x ) )
2118, 20oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n ) ) `
 x ) ) )
22 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
n ) )
2321, 22oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) )
2423mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ n ) ) ) )
25 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  n )
) `  x )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y ) )
26 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  x )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n ) ) `
 y ) )
2725, 26oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  x )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n )
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n ) ) `
 y ) ) )
28 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  B )  =  ( y  -  B ) )
2928oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  B
) ^ n )  =  ( ( y  -  B ) ^
n ) )
3027, 29oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) )
3130cbvmptv 4111 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ n
) ) )  =  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) )
3224, 31syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) )  =  ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) )
3332oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) ) lim CC  B ) )
3433eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  <->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) )
3534imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  n ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  n ) ) `  y ) )  / 
( ( y  -  B ) ^ n
) ) ) lim CC  B ) ) ) )
36 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  ( n  +  1
) ) )
3736fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( S  D n F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) )
3837fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x ) )
3936fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) )
4039fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x ) )
4138, 40oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x ) ) )
42 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^
( n  +  1 ) ) )
4341, 42oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) )
4443mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
4544oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
4645eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) )
4746imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ (
n  +  1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
48 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  N  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  N ) )
4948fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
( S  D n F ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) )
5049fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )
5148fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
)  =  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N ) ) )
5251fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )
5350, 52oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) ) )
54 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  -  B
) ^ m )  =  ( ( x  -  B ) ^ N ) )
5553, 54oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  m ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) )
5655mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) )
5756oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) ) lim CC  B ) )
5857eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  m )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
m ) ) ) lim
CC  B )  <->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) ) )
5958imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  m ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  m )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ m ) ) ) lim CC  B ) )  <->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  / 
( ( x  -  B ) ^ N
) ) ) lim CC  B ) ) ) )
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
61 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  =  ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 B ) )
62 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 B ) )
6361, 62oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
)  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 B ) ) )
64 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) )
65 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 B ) )  e.  _V
6663, 64, 65fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  y ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  B ) ) )
6760, 66syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 B ) ) )
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
711nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
72 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7371, 72syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
74 eluzfz2b 10805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
7573, 74sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 N )  =  A )
7760, 76eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 19751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  B )
)
8079oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  B ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  B ) ) )
81 cnex 8818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  _V
8281a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
83 elpm2r 6788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
85 dvnf 19276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 N ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) --> CC )
8668, 84, 71, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  N
) : dom  (
( S  D n F ) `  N
) --> CC )
8786, 77ffvelrnd 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  B )  e.  CC )
8887subidd 9145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 B )  -  ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  B ) )  =  0 )
8967, 80, 883eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0 )
90 funmpt 5290 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )
91 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) )  e.  _V
9291, 64dmmpti 5373 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )  =  A
9360, 92syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) ) )
94 funbrfvb 5565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) )  /\  B  e. 
dom  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0  <->  B (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) ) 0 ) )
9590, 93, 94sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0  <->  B (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 N ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) ) 0 ) )
9689, 95mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  N ) `
 y ) ) ) 0 )
97 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
981, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
99 dvnf 19276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) : dom  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) --> CC )
10068, 84, 98, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) : dom  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) --> CC )
101 dvnbss 19277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) )  C_  dom  F )
10268, 84, 98, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) )  C_  dom  F )
103 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
10469, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
105102, 104sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) )  C_  A )
106 fzo0end 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
107 elfzofz 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
1081, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
109 dvn2bss 19279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  N
)  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )
11068, 84, 108, 109syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 N )  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )
11176, 110eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )
112105, 111eqssd 3196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) )  =  A )
113112feq2d 5380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) --> CC  <->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) : A --> CC ) )
114100, 113mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) : A --> CC )
115114ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
11676feq2d 5380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 N ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) --> CC  <->  ( ( S  D n F ) `  N
) : A --> CC ) )
11786, 116mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  N
) : A --> CC )
118117ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( S  D n F ) `  N
) `  y )  e.  CC )
1191nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
120 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
121120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
122119, 121npcand 9161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
123122fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N ) )
124 recnprss 19254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
12568, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
126 dvnp1 19274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  D n F ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
127125, 84, 98, 126syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
128123, 127eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  N
)  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
129117feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  N
)  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )
) )
130114feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )
131130oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )
132128, 129, 1313eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( S  D n F ) `  N
) `  y )
) )
13370, 125sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
134133sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  CC )
135 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
136135a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
137 elpm2r 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  -> 
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )
13882, 68, 114, 70, 137syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )
139 dvn1 19275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1 )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
140125, 138, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
141127, 123eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N
) )
142140, 141eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  ( ( S  D n F ) `  N
) )
143142dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1 )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  N ) )
14477, 143eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) `  1
) )
145 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B )
14668, 114, 70, 136, 144, 145taylpf 19745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) : CC --> CC )
147121, 119pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  =  N )
148147oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
149148, 78syl6reqr 2334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F ) B ) )
150149oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  D n T )  =  ( CC  D n ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F
) B ) ) )
151150fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( ( CC  D n ( ( 1  +  ( N  -  1 ) ) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 ( N  - 
1 ) ) )
152147fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
1  +  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N ) )
153152dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
15477, 153eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  (
1  +  ( N  -  1 ) ) ) )
15568, 69, 70, 98, 136, 154dvntaylp 19750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( 1  +  ( N  - 
1 ) ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) )
156151, 155eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) )
157156feq1d 5379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) : CC --> CC  <->  ( 1 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) ) B ) : CC --> CC ) )
158146, 157mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) : CC --> CC )
159158ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
160134, 159syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
161 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
162161a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
163 elpm2r 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  D n F ) `
 N ) : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  -> 
( ( S  D n F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )
16482, 68, 117, 70, 163syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )
165 dvn0 19273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  D n F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  N ) ) `  0 )  =  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
166125, 164, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 N ) ) `
 0 )  =  ( ( S  D n F ) `  N
) )
167166dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  N ) ) `  0 )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  N ) )
16877, 167eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  N
) ) `  0
) )
169 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N ) ) B )  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N
) ) B )
17068, 117, 70, 162, 168, 169taylpf 19745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N
) ) B ) : CC --> CC )
171119addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
172171oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
173172, 78syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B )  =  T )
174173oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  D n
( ( 0  +  N ) ( S Tayl 
F ) B ) )  =  ( CC  D n T ) )
175174fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( 0  +  N ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  N
)  =  ( ( CC  D n T ) `  N ) )
176171fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
0  +  N ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N ) )
177176dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( 0  +  N ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
17877, 177eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  (
0  +  N ) ) )
17968, 69, 70, 71, 162, 178dvntaylp 19750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( 0  +  N ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  N
)  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N ) ) B ) )
180175, 179eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  N
)  =  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N ) ) B ) )
181180feq1d 5379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) : CC --> CC  <->  ( 0 ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  N ) ) B ) : CC --> CC ) )
182170, 181mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  N
) : CC --> CC )
183182ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )  e.  CC )
184134, 183syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )  e.  CC )
185125sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
186185, 159syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  e.  CC )
187185, 183syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )  e.  CC )
188 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
189188cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
190 toponmax 16666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
191189, 190mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
192 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  CC  <->  ( S  i^i  CC )  =  S )
193125, 192sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  CC )  =  S )
194 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
195194a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
196 mapsspm 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
^m  CC )  C_  ( CC  ^pm  CC )
19768, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 19745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T : CC --> CC )
19881, 81elmap 6796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  ( CC  ^m  CC )  <->  T : CC --> CC )
199197, 198sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  ( CC 
^m  CC ) )
200196, 199sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  T  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
201 dvnp1 19274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  T  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( N  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( CC  D n T ) `
 ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( CC  _D  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
202195, 200, 98, 201syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( CC 
_D  ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
203122fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( CC  D n T ) `  N ) )
204202, 203eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( CC  D n T ) `  N
) )
205158feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )
206205oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )
207182feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  N
)  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )
208204, 206, 2073eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )
209188, 68, 191, 193, 159, 183, 208dvmptres3 19305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )
210 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
211 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
212189, 125, 211sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
213 topontop 16664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
214212, 213syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
215 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )
216212, 215syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
21770, 216sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
218 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  S )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S )
219218ntrss2 16794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
220214, 217, 219syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  C_  A
)
221141dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  N
) )
222221, 76eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )  =  A )
223125, 114, 70, 210, 188dvbssntr 19250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) )  C_  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A ) )
224222, 223eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  A
) )
225220, 224eqssd 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  =  A )
22668, 186, 187, 209, 70, 210, 188, 225dvmptres2 19311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( CC  D n T ) `  N
) `  y )
) )
22768, 115, 118, 132, 160, 184, 226dvmptsub 19316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  y ) ) ) )
228227breqd 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) ) 0  <->  B
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  N ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 N ) `  y ) ) ) 0 ) )
22996, 228mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) ) 0 )
230 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) )
231115, 160subcld 9157 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) )  e.  CC )
232 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) )
233231, 232fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) : A --> CC )
234210, 188, 230, 125, 233, 70eldv 19248 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) ) 0  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  A
)  /\  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
235229, 234mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  A )  /\  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) ) )
236235simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
237 eldifi 3298 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  \  { B } )  ->  x  e.  A )
238 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )
239 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )
240238, 239oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) ) )
241 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  e.  _V
242240, 232, 241fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) ) )
243 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) )
244 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  =  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) )
245243, 244oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) ) )
246 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) )  e.  _V
247245, 232, 246fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 B )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) ) )
24860, 247syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B ) ) )
24968, 69, 70, 108, 77, 78dvntaylp0 19751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  B ) )
250249oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) ) )
251114, 60ffvelrnd 5666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B )  e.  CC )
252251subidd 9145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 B )  -  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  B ) )  =  0 )
253248, 250, 2523eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B )  =  0 )
254242, 253oveqan12rd 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  -  0 ) )
255114ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  e.  CC )
256133sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
257158ffvelrnda 5665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  e.  CC )
258256, 257syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  e.  CC )
259255, 258subcld 9157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  e.  CC )
260259subid1d 9146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  - 
0 )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) ) )
261254, 260eqtr2d 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  =  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y ) ) ) `
 x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) ) )
262237, 261sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x ) )  =  ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) ) )
263 difss 3303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
264263, 133syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
265264sselda 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  CC )
266133, 60sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
267266adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
268265, 267subcld 9157 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( x  -  B
)  e.  CC )
269268exp1d 11240 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( x  -  B ) ^ 1 )  =  ( x  -  B ) )
270262, 269oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
1 ) )  =  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  x
)  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  y ) ) ) `  B
) )  /  (
x  -  B ) ) )
271270mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) )
272271oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  - 
1 ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ 1 ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  x )  -  ( ( y  e.  A  |->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  y )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 y ) ) ) `  B ) )  /  ( x  -  B ) ) ) lim CC  B ) )
273236, 272eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
1 ) ) ) lim
CC  B ) )
274273a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  1 ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  1 ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
1 ) ) ) lim
CC  B ) ) )
275 taylthlem1.i . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1..^ N )  /\  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) ) )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) )
276275expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( 0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) )
277276expcom 424 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ph  ->  ( 0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B )  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  ( n  +  1
) ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) lim CC  B ) ) ) )
278277a2d 23 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( ph  ->  0  e.  ( ( y  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  n ) ) `  y )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  n )
) `  y )
)  /  ( ( y  -  B ) ^ n ) ) ) lim CC  B ) )  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  ( n  +  1 ) ) ) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  ( n  + 
1 ) ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^
( n  +  1 ) ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
27915, 35, 47, 59, 274, 278fzind2 10923 . . 3  |-  ( N  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B ) ) )
2803, 279mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( x  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim
CC  B ) )
281119subidd 9145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
282281fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N )
)  =  ( ( S  D n F ) `  0 ) )
283 dvn0 19273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  D n F ) `  0
)  =  F )
284125, 84, 283syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  0
)  =  F )
285282, 284eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N )
)  =  F )
286285fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
287281fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
)  =  ( ( CC  D n T ) `  0 ) )
288 dvn0 19273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  T  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  (
( CC  D n T ) `  0
)  =  T )
289194, 200, 288sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  0
)  =  T )
290287, 289eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
)  =  T )
291290fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  =  ( T `  x ) )
292286, 291oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N ) ) `
 x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `
 ( N  -  N ) ) `  x ) )  =  ( ( F `  x )  -  ( T `  x )
) )
293292oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  ( N  -  N )
) `  x )  -  ( ( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N ) ) `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) )  =  ( ( ( F `
 x )  -  ( T `  x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
294293mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x )  -  ( T `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) )
295 taylthlem1.r . . . 4  |-  R  =  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  x
)  -  ( T `
 x ) )  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )
296294, 295syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) )  =  R )
297296oveq1d 5873 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 ( N  -  N ) ) `  x )  -  (
( ( CC  D n T ) `  ( N  -  N )
) `  x )
)  /  ( ( x  -  B ) ^ N ) ) ) lim CC  B )  =  ( R lim CC  B ) )
298280, 297eleqtrd 2359 1  |-  ( ph  ->  0  e.  ( R lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   ^cexp 11104   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   intcnt 16754   lim CC climc 19212    _D cdv 19213    D ncdvn 19214   Tayl ctayl 19732
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tsms 17809  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-dvn 19218  df-tayl 19734
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