MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tc0 Unicode version

Theorem tc0 7612
Description: The transitive closure of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
tc0  |-  ( TC
`  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem tc0
StepHypRef Expression
1 ssid 3303 . . 3  |-  (/)  C_  (/)
2 tr0 4247 . . 3  |-  Tr  (/)
3 0ex 4273 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
4 tcmin 7606 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( (/)  C_  (/)  /\  Tr  (/) )  -> 
( TC `  (/) )  C_  (/) ) )
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  ( (
(/)  C_  (/)  /\  Tr  (/) )  -> 
( TC `  (/) )  C_  (/) )
61, 2, 5mp2an 654 . 2  |-  ( TC
`  (/) )  C_  (/)
7 0ss 3592 . 2  |-  (/)  C_  ( TC `  (/) )
86, 7eqssi 3300 1  |-  ( TC
`  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   (/)c0 3564   Tr wtr 4236   ` cfv 5387   TCctc 7601
This theorem is referenced by:  tc00  7613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-tc 7602
  Copyright terms: Public domain W3C validator