MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tc0 Structured version   Unicode version

Theorem tc0 7678
Description: The transitive closure of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
tc0  |-  ( TC
`  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem tc0
StepHypRef Expression
1 ssid 3359 . . 3  |-  (/)  C_  (/)
2 tr0 4305 . . 3  |-  Tr  (/)
3 0ex 4331 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
4 tcmin 7672 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( (/)  C_  (/)  /\  Tr  (/) )  -> 
( TC `  (/) )  C_  (/) ) )
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  ( (
(/)  C_  (/)  /\  Tr  (/) )  -> 
( TC `  (/) )  C_  (/) )
61, 2, 5mp2an 654 . 2  |-  ( TC
`  (/) )  C_  (/)
7 0ss 3648 . 2  |-  (/)  C_  ( TC `  (/) )
86, 7eqssi 3356 1  |-  ( TC
`  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   Tr wtr 4294   ` cfv 5446   TCctc 7667
This theorem is referenced by:  tc00  7679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-tc 7668
  Copyright terms: Public domain W3C validator