Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tc2 Structured version   Unicode version

Theorem tc2 7710
 Description: A variant of the definition of the transitive closure function, using instead the smallest transitive set containing as a member, gives almost the same set, except that itself must be added because it is not usually a member of (and it is never a member if is well-founded). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tc2.1
Assertion
Ref Expression
tc2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem tc2
StepHypRef Expression
1 tc2.1 . . . . 5
2 tcvalg 7706 . . . . 5
31, 2ax-mp 5 . . . 4
4 trss 4336 . . . . . . 7
54imdistanri 674 . . . . . 6
65ss2abi 3401 . . . . 5
7 intss 4095 . . . . 5
86, 7ax-mp 5 . . . 4
93, 8eqsstri 3364 . . 3
101elintab 4085 . . . . 5
11 simpl 445 . . . . 5
1210, 11mpgbir 1560 . . . 4
131snss 3950 . . . 4
1412, 13mpbi 201 . . 3
159, 14unssi 3508 . 2
161snid 3865 . . . . 5
17 elun2 3501 . . . . 5
1816, 17ax-mp 5 . . . 4
19 uniun 4058 . . . . . . 7
20 tctr 7708 . . . . . . . . 9
21 df-tr 4328 . . . . . . . . 9
2220, 21mpbi 201 . . . . . . . 8
231unisn 4055 . . . . . . . . 9
24 tcid 7707 . . . . . . . . . 10
251, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2623, 25eqsstri 3364 . . . . . . . 8
2722, 26unssi 3508 . . . . . . 7
2819, 27eqsstri 3364 . . . . . 6
29 ssun1 3496 . . . . . 6
3028, 29sstri 3343 . . . . 5
31 df-tr 4328 . . . . 5
3230, 31mpbir 202 . . . 4
33 fvex 5771 . . . . . 6
34 snex 4434 . . . . . 6
3533, 34unex 4736 . . . . 5
36 eleq2 2503 . . . . . 6
37 treq 4333 . . . . . 6
3836, 37anbi12d 693 . . . . 5
3935, 38elab 3088 . . . 4
4018, 32, 39mpbir2an 888 . . 3
41 intss1 4089 . . 3
4240, 41ax-mp 5 . 2
4315, 42eqssi 3350 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  cab 2428  cvv 2962   cun 3304   wss 3306  csn 3838  cuni 4039  cint 4074   wtr 4327  cfv 5483  ctc 7704 This theorem is referenced by:  tcsni  7711 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-tc 7705
 Copyright terms: Public domain W3C validator