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Theorem tchcphlem1 18665
Description: Lemma for tchcph 18667: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
tchcph.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
tchcphlem1.3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
tchcphlem1.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x,  .,    x, F    x, G    x, V    ph, x    x, W    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcphlem1
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
2 phllmod 16534 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
3 lmodgrp 15634 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5 tchcphlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 tchcphlem1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 tchcph.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  W )
97, 8grpsubcl 14546 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
104, 5, 6, 9syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
11 tchval.n . . . . . 6  |-  G  =  (toCHil `  W )
12 tchcph.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
13 tchcph.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
14 tchcph.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
1511, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 18663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  Y )  e.  V
)  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  RR )
1610, 15mpdan 649 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  RR )
1711, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 18663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
185, 17mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  RR )
1911, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 18663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
206, 19mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
2118, 20readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
2211, 7, 12, 1, 13tchclm 18662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
23 tchcph.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  F
)
2412, 23clmsscn 18577 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
2522, 24syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
2612, 14, 7, 23ipcl 16537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K )
271, 5, 6, 26syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  K )
2825, 27sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
2912, 14, 7, 23ipcl 16537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K )
301, 6, 5, 29syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  K )
3125, 30sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  CC )
3228, 31addcld 8854 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  e.  CC )
3332abscld 11918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  e.  RR )
3421, 33readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  e.  RR )
3518recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  CC )
36 2re 9815 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
37 tchcph.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
3837ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
39 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
4039anidms 626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
4140breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( X  .,  X ) ) )
4241rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( X  .,  X
) ) )
435, 38, 42sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  .,  X ) )
4418, 43resqrcld 11900 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  RR )
45 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
4645anidms 626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
4746breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
4847rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
496, 38, 48sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
5020, 49resqrcld 11900 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
5144, 50remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
52 remulcl 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  RR )
5336, 51, 52sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  RR )
5453recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  CC )
5520recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
5635, 54, 55add32d 9034 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
5721, 53readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  e.  RR )
5856, 57eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) )  e.  RR )
59 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( X 
.-  Y )  /\  x  =  ( X  .-  Y ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.,  ( X  .-  Y ) ) )
6059anidms 626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  .-  Y )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( X 
.-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6160breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( X  .-  Y )  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( ( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
6261rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  .-  Y )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
6310, 38, 62sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6416, 63absidd 11905 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6512clmadd 18572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. CMod  ->  +  =  ( +g  `  F ) )
6622, 65syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  +  =  ( +g  `  F ) )
6766oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) )
6866oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  =  ( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  X ) ) )
6967, 68oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) ( -g `  F ) ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F ) ( Y 
.,  X ) ) ) )
7012, 14, 7, 23ipcl 16537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  K )
711, 5, 5, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  K )
7212, 14, 7, 23ipcl 16537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K )
731, 6, 6, 72syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  K )
7412, 23clmacl 18581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  X )  e.  K  /\  ( Y 
.,  Y )  e.  K )  ->  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K )
7522, 71, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )
7612, 23clmacl 18581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  ( Y 
.,  X )  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )
7722, 27, 30, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  e.  K )
7812, 23clmsub 18578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K  /\  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  -  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) ( -g `  F
) ( ( X 
.,  Y )  +  ( Y  .,  X
) ) ) )
7922, 75, 77, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  -  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) ( -g `  F
) ( ( X 
.,  Y )  +  ( Y  .,  X
) ) ) )
80 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
81 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
8212, 14, 7, 8, 80, 81, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 16548 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F ) ( Y 
.,  X ) ) ) )
8369, 79, 823eqtr4rd 2326 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )
8483fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  =  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8564, 84eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8625, 75sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
8786, 32abs2dif2d 11940 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) )  +  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
8885, 87eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( abs `  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) ) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8918, 20, 43, 49addge0d 9348 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
9021, 89absidd 11905 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) )  =  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) ) )
9190oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
9288, 91breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  +  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
9328abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR )
94 remulcl 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( abs `  ( X 
.,  Y ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  e.  RR )
9536, 93, 94sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  e.  RR )
9628, 31abstrid 11938 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  +  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) ) )
9793recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  CC )
98972timesd 9954 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( X 
.,  Y ) ) ) )
9928abscjd 11932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )
10012clmcj 18574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( * r `  F
) )
10122, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  *  =  ( * r `  F ) )
102101fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( ( * r `  F ) `
 ( X  .,  Y ) ) )
103 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
10412, 14, 7, 103ipcj 16538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
1051, 5, 6, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
106102, 105eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
107106fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) )
10899, 107eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  =  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) )
109108oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  +  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X 
.,  Y ) )  +  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) ) )
11098, 109eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( Y 
.,  X ) ) ) )
11196, 110breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ) )
112 tchcph.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
113 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
114 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
11511, 7, 12, 1, 13, 14, 112, 37, 23, 113, 114, 5, 6ipcau2 18664 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( (
norm `  G ) `  X )  x.  (
( norm `  G ) `  Y ) ) )
11611, 113, 7, 14tchnmval 18660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  X )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
1174, 5, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( norm `  G
) `  X )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
11811, 113, 7, 14tchnmval 18660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  Y )  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )
1194, 6, 118syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( norm `  G
) `  Y )  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )
120117, 119oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( norm `  G ) `  X
)  x.  ( (
norm `  G ) `  Y ) )  =  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
121115, 120breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
12236a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
123 2pos 9828 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
124123a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
125 lemul2 9609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR  /\  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
12693, 51, 122, 124, 125syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <-> 
( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
127121, 126mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )
12833, 95, 53, 111, 127letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )
12933, 53, 21, 128leadd2dd 9387 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
130129, 56breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( (
( X  .,  X
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y ) ) )
13116, 34, 58, 92, 130letrd 8973 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
13216recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  CC )
133132sqsqrd 11921 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
13435sqrcld 11919 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC )
13550recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
136 binom2 11218 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
137134, 135, 136syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
13835sqsqrd 11921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  =  ( X  .,  X
) )
139138oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
14055sqsqrd 11921 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( Y  .,  Y
) )
141139, 140oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
142137, 141eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
143131, 133, 1423brtr4d 4053 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 ) )
14416, 63resqrcld 11900 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  e.  RR )
14544, 50readdcld 8862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
14616, 63sqrge0d 11903 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
14718, 43sqrge0d 11903 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
14820, 49sqrge0d 11903 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
14944, 50, 147, 148addge0d 9348 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
150144, 145, 146, 149le2sqd 11280 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) ) )
151143, 150mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   ^cexp 11104   *ccj 11581   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   +g cplusg 13208   * rcstv 13210  Scalarcsca 13211   .icip 13213   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   LModclmod 15627  ℂfldccnfld 16377   PreHilcphl 16528   normcnm 18099  CModcclm 18560  toCHilctch 18603
This theorem is referenced by:  tchcph  18667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-nm 18105  df-tng 18107  df-clm 18561  df-tch 18605
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