MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem1 Unicode version

Theorem tchcphlem1 18763
Description: Lemma for tchcph 18765: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
tchcph.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
tchcphlem1.3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
tchcphlem1.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x,  .,    x, F    x, G    x, V    ph, x    x, W    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcphlem1
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
2 phllmod 16634 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
3 lmodgrp 15727 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5 tchcphlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 tchcphlem1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 tchcph.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  W )
97, 8grpsubcl 14639 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
104, 5, 6, 9syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
11 tchval.n . . . . . 6  |-  G  =  (toCHil `  W )
12 tchcph.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
13 tchcph.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
14 tchcph.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
1511, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 18761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  Y )  e.  V
)  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  RR )
1610, 15mpdan 649 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  RR )
1711, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 18761 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
185, 17mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  RR )
1911, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 18761 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
206, 19mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
2118, 20readdcld 8949 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
2211, 7, 12, 1, 13tchclm 18760 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
23 tchcph.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  F
)
2412, 23clmsscn 18675 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
2522, 24syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
2612, 14, 7, 23ipcl 16637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K )
271, 5, 6, 26syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  K )
2825, 27sseldd 3257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
2912, 14, 7, 23ipcl 16637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K )
301, 6, 5, 29syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  K )
3125, 30sseldd 3257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  CC )
3228, 31addcld 8941 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  e.  CC )
3332abscld 12008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  e.  RR )
3421, 33readdcld 8949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  e.  RR )
3518recnd 8948 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  CC )
36 2re 9902 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
37 tchcph.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
3837ralrimiva 2702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
39 oveq12 5951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
4039anidms 626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
4140breq2d 4114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( X  .,  X ) ) )
4241rspcv 2956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( X  .,  X
) ) )
435, 38, 42sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  .,  X ) )
4418, 43resqrcld 11990 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  RR )
45 oveq12 5951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
4645anidms 626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
4746breq2d 4114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
4847rspcv 2956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
496, 38, 48sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
5020, 49resqrcld 11990 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
5144, 50remulcld 8950 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
52 remulcl 8909 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  RR )
5336, 51, 52sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  RR )
5453recnd 8948 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  CC )
5520recnd 8948 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
5635, 54, 55add32d 9121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
5721, 53readdcld 8949 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  e.  RR )
5856, 57eqeltrd 2432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) )  e.  RR )
59 oveq12 5951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( X 
.-  Y )  /\  x  =  ( X  .-  Y ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.,  ( X  .-  Y ) ) )
6059anidms 626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  .-  Y )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( X 
.-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6160breq2d 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( X  .-  Y )  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( ( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
6261rspcv 2956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  .-  Y )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
6310, 38, 62sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6416, 63absidd 11995 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6512clmadd 18670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. CMod  ->  +  =  ( +g  `  F ) )
6622, 65syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  +  =  ( +g  `  F ) )
6766oveqd 5959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) )
6866oveqd 5959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  =  ( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  X ) ) )
6967, 68oveq12d 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) ( -g `  F ) ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F ) ( Y 
.,  X ) ) ) )
7012, 14, 7, 23ipcl 16637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  K )
711, 5, 5, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  K )
7212, 14, 7, 23ipcl 16637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K )
731, 6, 6, 72syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  K )
7412, 23clmacl 18679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  X )  e.  K  /\  ( Y 
.,  Y )  e.  K )  ->  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K )
7522, 71, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )
7612, 23clmacl 18679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  ( Y 
.,  X )  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )
7722, 27, 30, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  e.  K )
7812, 23clmsub 18676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K  /\  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  -  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) ( -g `  F
) ( ( X 
.,  Y )  +  ( Y  .,  X
) ) ) )
7922, 75, 77, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  -  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) ( -g `  F
) ( ( X 
.,  Y )  +  ( Y  .,  X
) ) ) )
80 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
81 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
8212, 14, 7, 8, 80, 81, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 16648 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F ) ( Y 
.,  X ) ) ) )
8369, 79, 823eqtr4rd 2401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )
8483fveq2d 5609 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  =  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8564, 84eqtr3d 2392 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8625, 75sseldd 3257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
8786, 32abs2dif2d 12030 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) )  +  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
8885, 87eqbrtrd 4122 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( abs `  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) ) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8918, 20, 43, 49addge0d 9435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
9021, 89absidd 11995 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) )  =  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) ) )
9190oveq1d 5957 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
9288, 91breqtrd 4126 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  +  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
9328abscld 12008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR )
94 remulcl 8909 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( abs `  ( X 
.,  Y ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  e.  RR )
9536, 93, 94sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  e.  RR )
9628, 31abstrid 12028 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  +  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) ) )
9793recnd 8948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  CC )
98972timesd 10043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( X 
.,  Y ) ) ) )
9928abscjd 12022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )
10012clmcj 18672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( * r `  F
) )
10122, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  *  =  ( * r `  F ) )
102101fveq1d 5607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( ( * r `  F ) `
 ( X  .,  Y ) ) )
103 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
10412, 14, 7, 103ipcj 16638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
1051, 5, 6, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
106102, 105eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
107106fveq2d 5609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) )
10899, 107eqtr3d 2392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  =  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) )
109108oveq2d 5958 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  +  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X 
.,  Y ) )  +  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) ) )
11098, 109eqtrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( Y 
.,  X ) ) ) )
11196, 110breqtrrd 4128 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ) )
112 tchcph.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
113 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
114 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
11511, 7, 12, 1, 13, 14, 112, 37, 23, 113, 114, 5, 6ipcau2 18762 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( (
norm `  G ) `  X )  x.  (
( norm `  G ) `  Y ) ) )
11611, 113, 7, 14tchnmval 18758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  X )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
1174, 5, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( norm `  G
) `  X )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
11811, 113, 7, 14tchnmval 18758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  Y )  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )
1194, 6, 118syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( norm `  G
) `  Y )  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )
120117, 119oveq12d 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( norm `  G ) `  X
)  x.  ( (
norm `  G ) `  Y ) )  =  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
121115, 120breqtrd 4126 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
12236a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
123 2pos 9915 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
124123a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
125 lemul2 9696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR  /\  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
12693, 51, 122, 124, 125syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <-> 
( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
127121, 126mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )
12833, 95, 53, 111, 127letrd 9060 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )
12933, 53, 21, 128leadd2dd 9474 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
130129, 56breqtrrd 4128 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( (
( X  .,  X
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y ) ) )
13116, 34, 58, 92, 130letrd 9060 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
13216recnd 8948 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  CC )
133132sqsqrd 12011 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
13435sqrcld 12009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC )
13550recnd 8948 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
136 binom2 11308 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
137134, 135, 136syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
13835sqsqrd 12011 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  =  ( X  .,  X
) )
139138oveq1d 5957 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
14055sqsqrd 12011 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( Y  .,  Y
) )
141139, 140oveq12d 5960 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
142137, 141eqtrd 2390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
143131, 133, 1423brtr4d 4132 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 ) )
14416, 63resqrcld 11990 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  e.  RR )
14544, 50readdcld 8949 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
14616, 63sqrge0d 11993 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
14718, 43sqrge0d 11993 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
14820, 49sqrge0d 11993 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
14944, 50, 147, 148addge0d 9435 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
150144, 145, 146, 149le2sqd 11370 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) ) )
151143, 150mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    C_ wss 3228   class class class wbr 4102   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824    + caddc 8827    x. cmul 8829    < clt 8954    <_ cle 8955    - cmin 9124    / cdiv 9510   2c2 9882   ^cexp 11194   *ccj 11671   sqrcsqr 11808   abscabs 11809   Basecbs 13239   ↾s cress 13240   +g cplusg 13299   * rcstv 13301  Scalarcsca 13302   .icip 13304   Grpcgrp 14455   -gcsg 14458   LModclmod 15720  ℂfldccnfld 16476   PreHilcphl 16628   normcnm 18195  CModcclm 18658  toCHilctch 18701
This theorem is referenced by:  tchcph  18765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-rp 10444  df-fz 10872  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-mhm 14508  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-subg 14711  df-ghm 14774  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-cring 15434  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-dvr 15558  df-rnghom 15589  df-drng 15607  df-subrg 15636  df-staf 15703  df-srng 15704  df-lmod 15722  df-lmhm 15872  df-lvec 15949  df-sra 16018  df-rgmod 16019  df-cnfld 16477  df-phl 16630  df-nm 18201  df-tng 18203  df-clm 18659  df-tch 18703
  Copyright terms: Public domain W3C validator