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Theorem tchcphlem1 19145
Description: Lemma for tchcph 19147: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
tchcph.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
tchcphlem1.3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
tchcphlem1.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x,  .,    x, F    x, G    x, V    ph, x    x, W    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcphlem1
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
2 phllmod 16816 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
3 lmodgrp 15912 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
41, 2, 33syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5 tchcphlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 tchcphlem1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 tchcph.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  W )
97, 8grpsubcl 14824 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
104, 5, 6, 9syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
11 tchval.n . . . . . 6  |-  G  =  (toCHil `  W )
12 tchcph.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
13 tchcph.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
14 tchcph.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
1511, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 19143 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  Y )  e.  V
)  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  RR )
1610, 15mpdan 650 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  RR )
1711, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 19143 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
185, 17mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  RR )
1911, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 19143 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
206, 19mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
2118, 20readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
2211, 7, 12, 1, 13tchclm 19142 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
23 tchcph.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  F
)
2412, 23clmsscn 19057 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
2522, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
2612, 14, 7, 23ipcl 16819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K )
271, 5, 6, 26syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  K )
2825, 27sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
2912, 14, 7, 23ipcl 16819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K )
301, 6, 5, 29syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  K )
3125, 30sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  CC )
3228, 31addcld 9063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  e.  CC )
3332abscld 12193 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  e.  RR )
3421, 33readdcld 9071 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  e.  RR )
3518recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  CC )
36 2re 10025 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
37 tchcph.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
3837ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
39 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
4039anidms 627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
4140breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( X  .,  X ) ) )
4241rspcv 3008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( X  .,  X
) ) )
435, 38, 42sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  .,  X ) )
4418, 43resqrcld 12175 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  RR )
45 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
4645anidms 627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
4746breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
4847rspcv 3008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
496, 38, 48sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
5020, 49resqrcld 12175 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
5144, 50remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
52 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  RR )
5336, 51, 52sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  RR )
5453recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )  e.  CC )
5520recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
5635, 54, 55add32d 9244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
5721, 53readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  e.  RR )
5856, 57eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) )  e.  RR )
59 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( X 
.-  Y )  /\  x  =  ( X  .-  Y ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.,  ( X  .-  Y ) ) )
6059anidms 627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  .-  Y )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( X 
.-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6160breq2d 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( X  .-  Y )  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( ( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
6261rspcv 3008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  .-  Y )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
6310, 38, 62sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6416, 63absidd 12180 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
6512clmadd 19052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. CMod  ->  +  =  ( +g  `  F ) )
6622, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  +  =  ( +g  `  F ) )
6766oveqd 6057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) )
6866oveqd 6057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  =  ( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  X ) ) )
6967, 68oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) ( -g `  F ) ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F ) ( Y 
.,  X ) ) ) )
7012, 14, 7, 23ipcl 16819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  K )
711, 5, 5, 70syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  K )
7212, 14, 7, 23ipcl 16819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K )
731, 6, 6, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  K )
7412, 23clmacl 19061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  X )  e.  K  /\  ( Y 
.,  Y )  e.  K )  ->  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K )
7522, 71, 73, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )
7612, 23clmacl 19061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  ( Y 
.,  X )  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )
7722, 27, 30, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) )  e.  K )
7812, 23clmsub 19058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K  /\  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  -  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) ( -g `  F
) ( ( X 
.,  Y )  +  ( Y  .,  X
) ) ) )
7922, 75, 77, 78syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  -  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) ( -g `  F
) ( ( X 
.,  Y )  +  ( Y  .,  X
) ) ) )
80 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
81 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
8212, 14, 7, 8, 80, 81, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 16830 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( Y  .,  Y ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  Y ) ( +g  `  F ) ( Y 
.,  X ) ) ) )
8369, 79, 823eqtr4rd 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )
8483fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  =  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8564, 84eqtr3d 2438 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  =  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8625, 75sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
8786, 32abs2dif2d 12215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  -  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) )  +  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
8885, 87eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( abs `  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) ) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
8918, 20, 43, 49addge0d 9558 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
9021, 89absidd 12180 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) )  =  ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) ) )
9190oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) ) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
9288, 91breqtrd 4196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( ( X  .,  X )  +  ( Y  .,  Y ) )  +  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
9328abscld 12193 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR )
94 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( abs `  ( X 
.,  Y ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  e.  RR )
9536, 93, 94sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  e.  RR )
9628, 31abstrid 12213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  +  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) ) )
9793recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  CC )
98972timesd 10166 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( X 
.,  Y ) ) ) )
9928abscjd 12207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )
10012clmcj 19054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( * r `  F
) )
10122, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  *  =  ( * r `  F ) )
102101fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( ( * r `  F ) `
 ( X  .,  Y ) ) )
103 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
10412, 14, 7, 103ipcj 16820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
1051, 5, 6, 104syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
106102, 105eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
107106fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) )
10899, 107eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  =  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) )
109108oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  +  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X 
.,  Y ) )  +  ( abs `  ( Y  .,  X ) ) ) )
11098, 109eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( abs `  ( X  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( Y 
.,  X ) ) ) )
11196, 110breqtrrd 4198 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ) )
112 tchcph.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
113 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
114 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
11511, 7, 12, 1, 13, 14, 112, 37, 23, 113, 114, 5, 6ipcau2 19144 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( (
norm `  G ) `  X )  x.  (
( norm `  G ) `  Y ) ) )
11611, 113, 7, 14tchnmval 19140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  X )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
1174, 5, 116syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( norm `  G
) `  X )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
11811, 113, 7, 14tchnmval 19140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( norm `  G
) `  Y )  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )
1194, 6, 118syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( norm `  G
) `  Y )  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )
120117, 119oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( norm `  G ) `  X
)  x.  ( (
norm `  G ) `  Y ) )  =  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
121115, 120breqtrd 4196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
12236a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
123 2pos 10038 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
124123a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
125 lemul2 9819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR  /\  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
12693, 51, 122, 124, 125syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <-> 
( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
127121, 126mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  ( X  .,  Y ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )
12833, 95, 53, 111, 127letrd 9183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X  .,  Y
)  +  ( Y 
.,  X ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )
12933, 53, 21, 128leadd2dd 9597 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( (
( X  .,  X
)  +  ( Y 
.,  Y ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
130129, 56breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X 
.,  X )  +  ( Y  .,  Y
) )  +  ( abs `  ( ( X  .,  Y )  +  ( Y  .,  X ) ) ) )  <_  ( (
( X  .,  X
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y ) ) )
13116, 34, 58, 92, 130letrd 9183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
13216recnd 9070 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) )  e.  CC )
133132sqsqrd 12196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) )
13435sqrcld 12194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC )
13550recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
136 binom2 11451 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
137134, 135, 136syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
13835sqsqrd 12196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  =  ( X  .,  X
) )
139138oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) ) )
14055sqsqrd 12196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( Y  .,  Y
) )
141139, 140oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
142137, 141eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ) )  +  ( Y  .,  Y
) ) )
143131, 133, 1423brtr4d 4202 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) ^ 2 ) )
14416, 63resqrcld 12175 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  e.  RR )
14544, 50readdcld 9071 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
14616, 63sqrge0d 12178 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) )
14718, 43sqrge0d 12178 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
14820, 49sqrge0d 12178 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
14944, 50, 147, 148addge0d 9558 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
150144, 145, 146, 149le2sqd 11513 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( X  .-  Y )  .,  ( X  .-  Y ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  +  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) ) )
151143, 150mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .-  Y
)  .,  ( X  .-  Y ) ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  +  ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   ^cexp 11337   *ccj 11856   sqrcsqr 11993   abscabs 11994   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   +g cplusg 13484   * rcstv 13486  Scalarcsca 13487   .icip 13489   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643   LModclmod 15905  ℂfldccnfld 16658   PreHilcphl 16810   normcnm 18577  CModcclm 19040  toCHilctch 19083
This theorem is referenced by:  tchcph  19147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-cnfld 16659  df-phl 16812  df-nm 18583  df-tng 18585  df-clm 19041  df-tch 19085
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