MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem2 Unicode version

Theorem tchcphlem2 18666
Description: Lemma for tchcph 18667: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
tchcph.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
tchcphlem2.3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
tchcphlem2.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    ph, x    x, W    x,  .x.    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcphlem2
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . . 7  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 tchcph.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 tchcph.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
5 tchcph.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
61, 2, 3, 4, 5tchclm 18662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
7 tchcph.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
83, 7clmsscn 18577 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
96, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
10 tchcphlem2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
119, 10sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1211cjmulrcld 11691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
* `  X )
)  e.  RR )
1311cjmulge0d 11693 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  x.  ( * `  X
) ) )
14 tchcphlem2.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 tchcph.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
161, 2, 3, 4, 5, 15tchcphlem3 18663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
1714, 16mpdan 649 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
18 tchcph.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
1918ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
20 oveq12 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
2120anidms 626 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
2221breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
2322rspcv 2880 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
2414, 19, 23sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
2512, 13, 17, 24sqrmuld 11907 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  x.  (
* `  X )
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) )  =  ( ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
26 phllmod 16534 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
274, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
28 tchcph.s . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
292, 3, 28, 7lmodvscl 15644 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V )
3027, 10, 14, 29syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  V )
31 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
32 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
333, 15, 2, 7, 28, 31, 32ipassr 16550 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( X  .x.  Y
)  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  K )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y
)  .,  Y )
( .r `  F
) ( ( * r `  F ) `
 X ) ) )
344, 30, 14, 10, 33syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y ) 
.,  Y ) ( .r `  F ) ( ( * r `
 F ) `  X ) ) )
353clmmul 18573 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
366, 35syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  =  ( .r
`  F ) )
3736oveqd 5875 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  =  ( X ( .r `  F ) ( Y  .,  Y
) ) )
383, 15, 2, 7, 28, 31ipass 16549 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  Y )  =  ( X ( .r `  F ) ( Y 
.,  Y ) ) )
394, 10, 14, 14, 38syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  Y
)  =  ( X ( .r `  F
) ( Y  .,  Y ) ) )
4037, 39eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X 
.x.  Y )  .,  Y ) )
413clmcj 18574 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( * r `  F
) )
426, 41syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  *  =  ( * r `  F ) )
4342fveq1d 5527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  =  ( ( * r `  F
) `  X )
)
4436, 40, 43oveq123d 5879 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  x.  ( * `
 X ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y ) 
.,  Y ) ( .r `  F ) ( ( * r `
 F ) `  X ) ) )
4517recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
4611cjcld 11681 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  e.  CC )
4711, 45, 46mul32d 9022 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  x.  ( * `
 X ) )  =  ( ( X  x.  ( * `  X ) )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
4834, 44, 473eqtr2d 2321 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( X  x.  ( * `  X ) )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
4948fveq2d 5529 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( sqr `  (
( X  x.  (
* `  X )
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
50 absval 11723 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  X )  =  ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) ) )
5111, 50syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  =  ( sqr `  ( X  x.  (
* `  X )
) ) )
5251oveq1d 5873 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )  =  ( ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
5325, 49, 523eqtr4d 2325 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    <_ cle 8868   *ccj 11581   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   .rcmulr 13209   * rcstv 13210  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   .icip 13213   LModclmod 15627  ℂfldccnfld 16377   PreHilcphl 16528  CModcclm 18560  toCHilctch 18603
This theorem is referenced by:  tchcph  18667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-clm 18561
  Copyright terms: Public domain W3C validator