MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem2 Structured version   Unicode version

Theorem tchcphlem2 19185
Description: Lemma for tchcph 19186: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
tchcph.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
tchcphlem2.3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
tchcphlem2.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    ph, x    x, W    x,  .x.    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcphlem2
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . . 7  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 tchcph.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 tchcph.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
5 tchcph.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
61, 2, 3, 4, 5tchclm 19181 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
7 tchcph.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
83, 7clmsscn 19096 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
96, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
10 tchcphlem2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
119, 10sseldd 3341 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1211cjmulrcld 12003 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
* `  X )
)  e.  RR )
1311cjmulge0d 12005 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  x.  ( * `  X
) ) )
14 tchcphlem2.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 tchcph.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
161, 2, 3, 4, 5, 15tchcphlem3 19182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
1714, 16mpdan 650 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
18 tchcph.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
1918ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
20 oveq12 6082 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
2120anidms 627 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
2221breq2d 4216 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
2322rspcv 3040 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
2414, 19, 23sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
2512, 13, 17, 24sqrmuld 12219 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  x.  (
* `  X )
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) )  =  ( ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
26 phllmod 16853 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
274, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
28 tchcph.s . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
292, 3, 28, 7lmodvscl 15959 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V )
3027, 10, 14, 29syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  V )
31 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
32 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
333, 15, 2, 7, 28, 31, 32ipassr 16869 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( X  .x.  Y
)  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  K )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y
)  .,  Y )
( .r `  F
) ( ( * r `  F ) `
 X ) ) )
344, 30, 14, 10, 33syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y ) 
.,  Y ) ( .r `  F ) ( ( * r `
 F ) `  X ) ) )
353clmmul 19092 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
366, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  =  ( .r
`  F ) )
3736oveqd 6090 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  =  ( X ( .r `  F ) ( Y  .,  Y
) ) )
383, 15, 2, 7, 28, 31ipass 16868 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  Y )  =  ( X ( .r `  F ) ( Y 
.,  Y ) ) )
394, 10, 14, 14, 38syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  Y
)  =  ( X ( .r `  F
) ( Y  .,  Y ) ) )
4037, 39eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X 
.x.  Y )  .,  Y ) )
413clmcj 19093 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( * r `  F
) )
426, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  *  =  ( * r `  F ) )
4342fveq1d 5722 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  =  ( ( * r `  F
) `  X )
)
4436, 40, 43oveq123d 6094 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  x.  ( * `
 X ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y ) 
.,  Y ) ( .r `  F ) ( ( * r `
 F ) `  X ) ) )
4517recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
4611cjcld 11993 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  e.  CC )
4711, 45, 46mul32d 9268 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  x.  ( * `
 X ) )  =  ( ( X  x.  ( * `  X ) )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
4834, 44, 473eqtr2d 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( X  x.  ( * `  X ) )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
4948fveq2d 5724 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( sqr `  (
( X  x.  (
* `  X )
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
50 absval 12035 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  X )  =  ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) ) )
5111, 50syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  =  ( sqr `  ( X  x.  (
* `  X )
) ) )
5251oveq1d 6088 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )  =  ( ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
5325, 49, 523eqtr4d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987    <_ cle 9113   *ccj 11893   sqrcsqr 12030   abscabs 12031   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   .rcmulr 13522   * rcstv 13523  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   .icip 13526   LModclmod 15942  ℂfldccnfld 16695   PreHilcphl 16847  CModcclm 19079  toCHilctch 19122
This theorem is referenced by:  tchcph  19186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-rnghom 15811  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-staf 15925  df-srng 15926  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-cnfld 16696  df-phl 16849  df-clm 19080
  Copyright terms: Public domain W3C validator