MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem2 Unicode version

Theorem tchcphlem2 19065
Description: Lemma for tchcph 19066: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
tchcph.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
tchcphlem2.3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
tchcphlem2.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    ph, x    x, W    x,  .x.    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem tchcphlem2
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . . 7  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchcph.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 tchcph.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 tchcph.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
5 tchcph.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
61, 2, 3, 4, 5tchclm 19061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
7 tchcph.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
83, 7clmsscn 18976 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
96, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
10 tchcphlem2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
119, 10sseldd 3293 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1211cjmulrcld 11939 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
* `  X )
)  e.  RR )
1311cjmulge0d 11941 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  x.  ( * `  X
) ) )
14 tchcphlem2.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 tchcph.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
161, 2, 3, 4, 5, 15tchcphlem3 19062 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
1714, 16mpdan 650 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
18 tchcph.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
1918ralrimiva 2733 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
20 oveq12 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
2120anidms 627 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
2221breq2d 4166 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
2322rspcv 2992 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
2414, 19, 23sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
2512, 13, 17, 24sqrmuld 12155 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  x.  (
* `  X )
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) )  =  ( ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
26 phllmod 16785 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
274, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
28 tchcph.s . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
292, 3, 28, 7lmodvscl 15895 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V )
3027, 10, 14, 29syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  V )
31 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
32 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
333, 15, 2, 7, 28, 31, 32ipassr 16801 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( X  .x.  Y
)  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  K )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y
)  .,  Y )
( .r `  F
) ( ( * r `  F ) `
 X ) ) )
344, 30, 14, 10, 33syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y ) 
.,  Y ) ( .r `  F ) ( ( * r `
 F ) `  X ) ) )
353clmmul 18972 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
366, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  =  ( .r
`  F ) )
3736oveqd 6038 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  =  ( X ( .r `  F ) ( Y  .,  Y
) ) )
383, 15, 2, 7, 28, 31ipass 16800 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  Y )  =  ( X ( .r `  F ) ( Y 
.,  Y ) ) )
394, 10, 14, 14, 38syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  Y
)  =  ( X ( .r `  F
) ( Y  .,  Y ) ) )
4037, 39eqtr4d 2423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X 
.x.  Y )  .,  Y ) )
413clmcj 18973 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( * r `  F
) )
426, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  *  =  ( * r `  F ) )
4342fveq1d 5671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  =  ( ( * r `  F
) `  X )
)
4436, 40, 43oveq123d 6042 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  x.  ( * `
 X ) )  =  ( ( ( X  .x.  Y ) 
.,  Y ) ( .r `  F ) ( ( * r `
 F ) `  X ) ) )
4517recnd 9048 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
4611cjcld 11929 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  e.  CC )
4711, 45, 46mul32d 9209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( Y  .,  Y ) )  x.  ( * `
 X ) )  =  ( ( X  x.  ( * `  X ) )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
4834, 44, 473eqtr2d 2426 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .,  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( X  x.  ( * `  X ) )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
4948fveq2d 5673 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( sqr `  (
( X  x.  (
* `  X )
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
50 absval 11971 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  X )  =  ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) ) )
5111, 50syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  =  ( sqr `  ( X  x.  (
* `  X )
) ) )
5251oveq1d 6036 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )  =  ( ( sqr `  ( X  x.  ( * `  X ) ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
5325, 49, 523eqtr4d 2430 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X  .x.  Y
)  .,  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924    x. cmul 8929    <_ cle 9055   *ccj 11829   sqrcsqr 11966   abscabs 11967   Basecbs 13397   ↾s cress 13398   .rcmulr 13458   * rcstv 13459  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   .icip 13462   LModclmod 15878  ℂfldccnfld 16627   PreHilcphl 16779  CModcclm 18959  toCHilctch 19002
This theorem is referenced by:  tchcph  19066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-grp 14740  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-cmn 15342  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-rnghom 15747  df-drng 15765  df-subrg 15794  df-staf 15861  df-srng 15862  df-lmod 15880  df-lmhm 16026  df-lvec 16103  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-cnfld 16628  df-phl 16781  df-clm 18960
  Copyright terms: Public domain W3C validator