MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem3 Unicode version

Theorem tchcphlem3 18679
Description: Lemma for tchcph 18683: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )

Proof of Theorem tchcphlem3
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . 6  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchcph.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 tchcph.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 tchcph.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
5 tchcph.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
61, 2, 3, 4, 5tchclm 18678 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  W  e. CMod )
8 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
93, 8clmsscn 18593 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  ( Base `  F
)  C_  CC )
107, 9syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( Base `  F )  C_  CC )
11 tchcph.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
123, 11, 2, 8ipcl 16553 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
13123anidm23 1241 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
144, 13sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
1510, 14sseldd 3194 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  CC )
163clmcj 18590 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( * r `  F
) )
177, 16syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  *  =  ( * r `
 F ) )
1817fveq1d 5543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
* `  ( X  .,  X ) )  =  ( ( * r `
 F ) `  ( X  .,  X ) ) )
194adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
20 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
21 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
223, 11, 2, 21ipcj 16554 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X ) )
2319, 20, 20, 22syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X ) )
2418, 23eqtrd 2328 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
* `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X
) )
2515, 24cjrebd 11703 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   *ccj 11597   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   * rcstv 13226  Scalarcsca 13227   .icip 13229  ℂfldccnfld 16393   PreHilcphl 16544  CModcclm 18576  toCHilctch 18619
This theorem is referenced by:  ipcau2  18680  tchcphlem1  18681  tchcphlem2  18682  tchcph  18683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-lmhm 15795  df-lvec 15872  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-cnfld 16394  df-phl 16546  df-clm 18577
  Copyright terms: Public domain W3C validator