MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem3 Unicode version

Theorem tchcphlem3 19061
Description: Lemma for tchcph 19065: real closure of an inner product of a vector with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
tchcphlem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )

Proof of Theorem tchcphlem3
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . 6  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchcph.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 tchcph.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 tchcph.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
5 tchcph.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
61, 2, 3, 4, 5tchclm 19060 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  W  e. CMod )
8 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
93, 8clmsscn 18975 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  ( Base `  F
)  C_  CC )
107, 9syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( Base `  F )  C_  CC )
11 tchcph.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
123, 11, 2, 8ipcl 16787 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
13123anidm23 1243 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
144, 13sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  ( Base `  F
) )
1510, 14sseldd 3292 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  CC )
163clmcj 18972 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( * r `  F
) )
177, 16syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  *  =  ( * r `
 F ) )
1817fveq1d 5670 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
* `  ( X  .,  X ) )  =  ( ( * r `
 F ) `  ( X  .,  X ) ) )
194adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
20 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
21 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
223, 11, 2, 21ipcj 16788 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X ) )
2319, 20, 20, 22syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X ) )
2418, 23eqtrd 2419 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  (
* `  ( X  .,  X ) )  =  ( X  .,  X
) )
2515, 24cjrebd 11934 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3263   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   *ccj 11828   Basecbs 13396   ↾s cress 13397   * rcstv 13458  Scalarcsca 13459   .icip 13461  ℂfldccnfld 16626   PreHilcphl 16778  CModcclm 18958  toCHilctch 19001
This theorem is referenced by:  ipcau2  19062  tchcphlem1  19063  tchcphlem2  19064  tchcph  19065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-cmn 15341  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-drng 15764  df-subrg 15793  df-lmhm 16025  df-lvec 16102  df-sra 16171  df-rgmod 16172  df-cnfld 16627  df-phl 16780  df-clm 18959
  Copyright terms: Public domain W3C validator