MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchex Structured version   Unicode version

Theorem tchex 19177
Description: Lemma for tchbas 19179 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tchex.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
tchex  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  e. 
_V
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hints:    ., ( x)    W( x)

Proof of Theorem tchex
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . 3  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
2 fvrn0 5754 . . . 4  |-  ( sqr `  ( x  .,  x
) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
32a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  V  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  e.  ( ran  sqr  u.  {
(/) } ) )
41, 3fmpti 5893 . 2  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) : V --> ( ran  sqr  u. 
{ (/) } )
5 tchex.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 fvex 5743 . . 3  |-  ( Base `  W )  e.  _V
75, 6eqeltri 2507 . 2  |-  V  e. 
_V
8 cnex 9072 . . . 4  |-  CC  e.  _V
9 sqrf 12168 . . . . 5  |-  sqr : CC
--> CC
10 frn 5598 . . . . 5  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  ran 
sqr  C_  CC )
119, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  ran  sqr  C_  CC
128, 11ssexi 4349 . . 3  |-  ran  sqr  e.  _V
13 p0ex 4387 . . 3  |-  { (/) }  e.  _V
1412, 13unex 4708 . 2  |-  ( ran 
sqr  u.  { (/) } )  e.  _V
15 fex2 5604 . 2  |-  ( ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> ( ran  sqr  u.  { (/) } )  /\  V  e. 
_V  /\  ( ran  sqr 
u.  { (/) } )  e.  _V )  -> 
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )  e.  _V )
164, 7, 14, 15mp3an 1280 1  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  e. 
_V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    u. cun 3319    C_ wss 3321   (/)c0 3629   {csn 3815    e. cmpt 4267   ran crn 4880   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   sqrcsqr 12039   Basecbs 13470
This theorem is referenced by:  tchbas  19179  tchplusg  19180  tchmulr  19181  tchsca  19182  tchvsca  19183  tchip  19184  tchtopn  19185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042
  Copyright terms: Public domain W3C validator