MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchnmfval Unicode version

Theorem tchnmfval 18712
Description: The norm of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchnmval.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
tchnmval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchnmval.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
tchnmfval  |-  ( W  e.  Grp  ->  N  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, G   
x, V    x, W
Allowed substitution hint:    N( x)

Proof of Theorem tchnmfval
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . . . 4  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
2 fvrn0 5588 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( x  .,  x
) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
32a1i 10 . . . 4  |-  ( x  e.  V  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  e.  ( ran  sqr  u.  {
(/) } ) )
41, 3fmpti 5721 . . 3  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) : V --> ( ran  sqr  u. 
{ (/) } )
5 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
6 tchnmval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 tchnmval.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
85, 6, 7tchval 18703 . . . 4  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) )
9 cnex 8863 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
10 sqrf 11894 . . . . . . 7  |-  sqr : CC
--> CC
11 frn 5433 . . . . . . 7  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  ran 
sqr  C_  CC )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ran  sqr  C_  CC
139, 12ssexi 4196 . . . . 5  |-  ran  sqr  e.  _V
14 p0ex 4234 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
1513, 14unex 4555 . . . 4  |-  ( ran 
sqr  u.  { (/) } )  e.  _V
168, 6, 15tngnm 18219 . . 3  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> ( ran  sqr  u.  { (/) } ) )  ->  (
x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) )  =  ( norm `  G ) )
174, 16mpan2 652 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  (
x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) )  =  ( norm `  G ) )
18 tchnmval.n . 2  |-  N  =  ( norm `  G
)
1917, 18syl6reqr 2367 1  |-  ( W  e.  Grp  ->  N  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701    u. cun 3184    C_ wss 3186   (/)c0 3489   {csn 3674    e. cmpt 4114   ran crn 4727   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   sqrcsqr 11765   Basecbs 13195   .icip 13260   Grpcgrp 14411   normcnm 18151  toCHilctch 18656
This theorem is referenced by:  tchnmval  18713  cphtchnm  18714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-rp 10402  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-tset 13274  df-ds 13277  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-nm 18157  df-tng 18159  df-tch 18658
  Copyright terms: Public domain W3C validator