MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchnmval Unicode version

Theorem tchnmval 18764
Description: The norm of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchnmval.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
tchnmval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchnmval.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
Assertion
Ref Expression
tchnmval  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )

Proof of Theorem tchnmval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . 4  |-  G  =  (toCHil `  W )
2 tchnmval.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  G
)
3 tchnmval.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 tchnmval.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
51, 2, 3, 4tchnmfval 18763 . . 3  |-  ( W  e.  Grp  ->  N  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) )
65fveq1d 5610 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( N `  X )  =  ( ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) ) `  X ) )
7 oveq12 5954 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
87anidms 626 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
98fveq2d 5612 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  =  ( sqr `  ( X  .,  X ) ) )
10 eqid 2358 . . 3  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
11 fvex 5622 . . 3  |-  ( sqr `  ( X  .,  X
) )  e.  _V
129, 10, 11fvmpt 5685 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
136, 12sylan9eq 2410 1  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    e. cmpt 4158   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   sqrcsqr 11814   Basecbs 13245   .icip 13310   Grpcgrp 14461   normcnm 18201  toCHilctch 18707
This theorem is referenced by:  ipcau2  18768  tchcphlem1  18769  tchcph  18771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-plusg 13318  df-tset 13324  df-ds 13327  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-nm 18207  df-tng 18209  df-tch 18709
  Copyright terms: Public domain W3C validator