MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchphl Structured version   Unicode version

Theorem tchphl 19177
Description: Augmentation of a pre-Hilbert space with a norm does not affect whether it is still a pre-Hilbert space because all the orginal components are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
Assertion
Ref Expression
tchphl  |-  ( W  e.  PreHil 
<->  G  e.  PreHil )

Proof of Theorem tchphl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2436 . . 3  |-  (  T. 
->  ( Base `  W
)  =  ( Base `  W ) )
2 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
42, 3tchbas 19170 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  G )
54a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  ( Base `  W
)  =  ( Base `  G ) )
6 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
72, 6tchplusg 19171 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  G )
87a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( +g  `  W
)  =  ( +g  `  G ) )
98proplem3 13908 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x ( +g  `  W
) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
10 eqidd 2436 . . 3  |-  (  T. 
->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
)
11 eqid 2435 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
122, 11tchsca 19173 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  G )
1312a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  G )
)
14 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
15 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
162, 15tchvsca 19174 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  G
)
1716a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( .s `  W
)  =  ( .s
`  G ) )
1817proplem3 13908 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x ( .s `  W ) y )  =  ( x ( .s `  G ) y ) )
19 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
202, 19tchip 19175 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  G
)
2120a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( .i `  W
)  =  ( .i
`  G ) )
2221proplem3 13908 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( x ( .i `  G ) y ) )
231, 5, 9, 10, 13, 14, 18, 22phlpropd 16878 . 2  |-  (  T. 
->  ( W  e.  PreHil  <->  G  e.  PreHil ) )
2423trud 1332 1  |-  ( W  e.  PreHil 
<->  G  e.  PreHil )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   .icip 13526   PreHilcphl 16847  toCHilctch 19122
This theorem is referenced by:  tchcph  19186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-ip 13539  df-tset 13540  df-ds 13543  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-ghm 14996  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-phl 16849  df-tng 18624  df-tch 19124
  Copyright terms: Public domain W3C validator