MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchphl Unicode version

Theorem tchphl 19057
Description: Augmentation of a pre-Hilbert space with a norm does not affect whether it is still a pre-Hilbert space because all the orginal components are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
Assertion
Ref Expression
tchphl  |-  ( W  e.  PreHil 
<->  G  e.  PreHil )

Proof of Theorem tchphl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2389 . . 3  |-  (  T. 
->  ( Base `  W
)  =  ( Base `  W ) )
2 tchval.n . . . . 5  |-  G  =  (toCHil `  W )
3 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
42, 3tchbas 19050 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  G )
54a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  ( Base `  W
)  =  ( Base `  G ) )
6 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
72, 6tchplusg 19051 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  G )
87a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( +g  `  W
)  =  ( +g  `  G ) )
98proplem3 13844 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x ( +g  `  W
) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
10 eqidd 2389 . . 3  |-  (  T. 
->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
)
11 eqid 2388 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
122, 11tchsca 19053 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  G )
1312a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  G )
)
14 eqid 2388 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
15 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
162, 15tchvsca 19054 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  G
)
1716a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( .s `  W
)  =  ( .s
`  G ) )
1817proplem3 13844 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x ( .s `  W ) y )  =  ( x ( .s `  G ) y ) )
19 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
202, 19tchip 19055 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  G
)
2120a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( .i `  W
)  =  ( .i
`  G ) )
2221proplem3 13844 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( x ( .i `  G ) y ) )
231, 5, 9, 10, 13, 14, 18, 22phlpropd 16810 . 2  |-  (  T. 
->  ( W  e.  PreHil  <->  G  e.  PreHil ) )
2423trud 1329 1  |-  ( W  e.  PreHil 
<->  G  e.  PreHil )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395   Basecbs 13397   +g cplusg 13457  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   .icip 13462   PreHilcphl 16779  toCHilctch 19002
This theorem is referenced by:  tchcph  19066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-rp 10546  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-ip 13475  df-tset 13476  df-ds 13479  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-grp 14740  df-ghm 14932  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-lmod 15880  df-lmhm 16026  df-lvec 16103  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-phl 16781  df-tng 18504  df-tch 19004
  Copyright terms: Public domain W3C validator