MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchvsca Structured version   Unicode version

Theorem tchvsca 19213
Description: The scalar multiplication of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchvsca.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
tchvsca  |-  .x.  =  ( .s `  G )

Proof of Theorem tchvsca
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21tchex 19207 . 2  |-  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) )  e.  _V
3 tchval.n . . . 4  |-  G  =  (toCHil `  W )
4 eqid 2442 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
53, 1, 4tchval 19208 . . 3  |-  G  =  ( W toNrmGrp  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) ) )
6 tchvsca.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  W )
75, 6tngvsca 18718 . 2  |-  ( ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( sqr `  ( x ( .i
`  W ) x ) ) )  e. 
_V  ->  .x.  =  ( .s `  G ) )
82, 7ax-mp 5 1  |-  .x.  =  ( .s `  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962    e. cmpt 4291   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   sqrcsqr 12069   Basecbs 13500   .scvsca 13564   .icip 13565  toCHilctch 19161
This theorem is referenced by:  tchphl  19216  tchcph  19225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-rp 10644  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-sets 13506  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ds 13582  df-tng 18663  df-tch 19163
  Copyright terms: Public domain W3C validator