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Theorem tcnvec 25690
Description: Nuples of complex numbers has a structure of vector space. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tcnvec.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
tcnvec.2  |-  . t  =  ( . cv `  N )
Assertion
Ref Expression
tcnvec  |-  ( N  e.  NN  ->  <. + w ,  . t >.  e.  CVec OLD )

Proof of Theorem tcnvec
Dummy variables  u  s  v  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcnvec.1 . . . . 5  |-  + w  =  (  + cv `  N )
21sigadd 25649 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  + w : ( ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
31claddrv 25647 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u + w v )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
433adant3r3 1162 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  w  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
u + w v
)  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )
51addassv 25656 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  w  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( u + w
v ) + w
w )  =  ( u + w (
v + w w
) ) )
64, 5jca 518 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  w  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( u + w
v )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) ) )
76ralrimivvva 2636 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) A. w  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( u + w v )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) ) )
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0 cv `  N )  =  ( 0 cv
`  N )
98zernpl 25653 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 cv `  N
)  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )
108, 1addidv2 25657 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) + w u )  =  u )
111, 8cnegvex2b 25662 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( y + w u
)  =  ( 0 cv `  N ) )
1210, 11jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( ( 0 cv `  N ) + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ( y + w u )  =  ( 0 cv
`  N ) ) )
1312ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( ( ( 0 cv `  N ) + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ( y + w u )  =  ( 0 cv
`  N ) ) )
14 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( x + w
u )  =  ( ( 0 cv `  N
) + w u
) )
1514adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( 0 cv `  N )  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( x + w u )  =  ( ( 0 cv
`  N ) + w u ) )
1615eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( 0 cv `  N )  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
x + w u
)  =  u  <->  ( (
0 cv `  N
) + w u
)  =  u ) )
17 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0 cv `  N )  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  x  =  ( 0 cv `  N
) )
1817eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( 0 cv `  N )  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
y + w u
)  =  x  <->  ( y + w u )  =  ( 0 cv `  N
) ) )
1918rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( 0 cv `  N )  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ( y + w u )  =  x  <->  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  ( 0 cv `  N
) ) )
2016, 19anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( 0 cv `  N )  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
( x + w
u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  x )  <->  ( ( ( 0 cv `  N
) + w u
)  =  u  /\  E. y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ( y + w u
)  =  ( 0 cv `  N ) ) ) )
2120ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( ( x + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  x )  <->  A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( ( 0 cv `  N ) + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ( y + w u )  =  ( 0 cv
`  N ) ) ) )
2221rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( 0 cv `  N
)  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  A. u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ( ( ( 0 cv
`  N ) + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  ( 0 cv `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ( ( x + w u
)  =  u  /\  E. y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ( y + w u
)  =  x ) )
239, 13, 22syl2anc 642 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( x + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  x ) )
24 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (  + cv `  N )  =  (  + cv `  N )
2524vecaddonto 25659 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (  + cv `  N ) : ( ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) -onto-> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
26 forn 5454 . . . . 5  |-  ( (  + cv `  N
) : ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) -onto-> ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ran  (  + cv `  N )  =  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
27 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  (  + cv `  N )  e.  _V
281, 27eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  + w  e.  _V
291rneqi 4905 . . . . . . . . 9  |-  ran  + w  =  ran  (  + cv `  N )
3029eqcomi 2287 . . . . . . . 8  |-  ran  (  + cv `  N )  =  ran  + w
3130isgrpo2 20864 . . . . . . 7  |-  ( + w  e.  _V  ->  ( + w  e.  GrpOp  <->  ( + w : ( ran  (  + cv `  N
)  X.  ran  (  + cv `  N ) ) --> ran  (  + cv `  N )  /\  A. u  e.  ran  (  + cv `  N ) A. v  e.  ran  (  + cv `  N
) A. w  e. 
ran  (  + cv `  N ) ( ( u + w v
)  e.  ran  (  + cv `  N )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) )  /\  E. x  e.  ran  (  + cv `  N ) A. u  e.  ran  (  + cv `  N ) ( ( x + w u
)  =  u  /\  E. y  e.  ran  (  + cv `  N ) ( y + w
u )  =  x ) ) ) )
3228, 31ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( + w  e.  GrpOp  <->  ( + w : ( ran  (  + cv `  N )  X.  ran  (  + cv `  N ) ) --> ran  (  + cv `  N )  /\  A. u  e.  ran  (  + cv `  N ) A. v  e.  ran  (  + cv `  N
) A. w  e. 
ran  (  + cv `  N ) ( ( u + w v
)  e.  ran  (  + cv `  N )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) )  /\  E. x  e.  ran  (  + cv `  N ) A. u  e.  ran  (  + cv `  N ) ( ( x + w u
)  =  u  /\  E. y  e.  ran  (  + cv `  N ) ( y + w
u )  =  x ) ) )
33 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  ->  ran  (  + cv `  N )  =  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
3433, 33xpeq12d 4714 . . . . . . . 8  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( ran  (  + cv `  N )  X. 
ran  (  + cv `  N ) )  =  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
3534, 33feq23d 5386 . . . . . . 7  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( + w :
( ran  (  + cv `  N )  X. 
ran  (  + cv `  N ) ) --> ran  (  + cv `  N
)  <->  + w : ( ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
36 eleq2 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( ( u + w v )  e. 
ran  (  + cv `  N )  <->  ( u + w v )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
3736anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( ( ( u + w v )  e.  ran  (  + cv `  N )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) )  <->  ( ( u + w v )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
( u + w
v ) + w
w )  =  ( u + w (
v + w w
) ) ) ) )
3837raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( A. w  e. 
ran  (  + cv `  N ) ( ( u + w v
)  e.  ran  (  + cv `  N )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) )  <->  A. w  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( u + w v )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) ) ) )
3938raleqbi1dv 2744 . . . . . . . 8  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( A. v  e. 
ran  (  + cv `  N ) A. w  e.  ran  (  + cv `  N ) ( ( u + w v
)  e.  ran  (  + cv `  N )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) )  <->  A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) A. w  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( u + w v )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) ) ) )
4039raleqbi1dv 2744 . . . . . . 7  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( A. u  e. 
ran  (  + cv `  N ) A. v  e.  ran  (  + cv `  N ) A. w  e.  ran  (  + cv `  N ) ( ( u + w v
)  e.  ran  (  + cv `  N )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) )  <->  A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) A. w  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( u + w v )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) ) ) )
41 rexeq 2737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( E. y  e. 
ran  (  + cv `  N ) ( y + w u )  =  x  <->  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  x ) )
4241anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( ( ( x + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ran  (  + cv `  N ) ( y + w
u )  =  x )  <->  ( ( x + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ( y + w u )  =  x ) ) )
4342raleqbi1dv 2744 . . . . . . . 8  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( A. u  e. 
ran  (  + cv `  N ) ( ( x + w u
)  =  u  /\  E. y  e.  ran  (  + cv `  N ) ( y + w
u )  =  x )  <->  A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( x + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  x ) ) )
4443rexeqbi1dv 2745 . . . . . . 7  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( E. x  e. 
ran  (  + cv `  N ) A. u  e.  ran  (  + cv `  N ) ( ( x + w u
)  =  u  /\  E. y  e.  ran  (  + cv `  N ) ( y + w
u )  =  x )  <->  E. x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( x + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  x ) ) )
4535, 40, 443anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( ( + w : ( ran  (  + cv `  N )  X.  ran  (  + cv `  N ) ) --> ran  (  + cv `  N )  /\  A. u  e.  ran  (  + cv `  N ) A. v  e.  ran  (  + cv `  N
) A. w  e. 
ran  (  + cv `  N ) ( ( u + w v
)  e.  ran  (  + cv `  N )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) )  /\  E. x  e.  ran  (  + cv `  N ) A. u  e.  ran  (  + cv `  N ) ( ( x + w u
)  =  u  /\  E. y  e.  ran  (  + cv `  N ) ( y + w
u )  =  x ) )  <->  ( + w : ( ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. w  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( u + w v )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) )  /\  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( x + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  x ) ) ) )
4632, 45syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( + w  e.  GrpOp  <->  ( + w : ( ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) A. w  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( u + w v )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) )  /\  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( x + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  x ) ) ) )
4725, 26, 463syl 18 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( + w  e.  GrpOp  <->  ( + w : ( ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. w  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( u + w v )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( u + w v ) + w w )  =  ( u + w ( v + w w ) ) )  /\  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( x + w u )  =  u  /\  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w
u )  =  x ) ) ) )
482, 7, 23, 47mpbir3and 1135 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  + w  e.  GrpOp )
491addcomv 25655 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u + w v )  =  ( v + w
u ) )
50493expib 1154 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( u + w v )  =  ( v + w
u ) ) )
5150ralrimivv 2634 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( u + w
v )  =  ( v + w u
) )
52 raleq 2736 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  (  + cv `  N )  ->  ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( u + w
v )  =  ( v + w u
)  <->  A. v  e.  ran  (  + cv `  N
) ( u + w v )  =  ( v + w
u ) ) )
5352raleqbi1dv 2744 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  (  + cv `  N )  ->  ( A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( u + w
v )  =  ( v + w u
)  <->  A. u  e.  ran  (  + cv `  N
) A. v  e. 
ran  (  + cv `  N ) ( u + w v )  =  ( v + w u ) ) )
5453eqcoms 2286 . . . . . 6  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( u + w
v )  =  ( v + w u
)  <->  A. u  e.  ran  (  + cv `  N
) A. v  e. 
ran  (  + cv `  N ) ( u + w v )  =  ( v + w u ) ) )
5554anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( ( + w  e.  GrpOp  /\  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( u + w
v )  =  ( v + w u
) )  <->  ( + w  e.  GrpOp  /\  A. u  e.  ran  (  + cv `  N ) A. v  e.  ran  (  + cv `  N
) ( u + w v )  =  ( v + w
u ) ) ) )
5630isablo 20950 . . . . 5  |-  ( + w  e.  AbelOp  <->  ( + w  e.  GrpOp  /\  A. u  e.  ran  (  + cv `  N ) A. v  e.  ran  (  + cv `  N
) ( u + w v )  =  ( v + w
u ) ) )
5755, 56syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( ran  (  + cv `  N
)  =  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( + w  e.  AbelOp  <->  ( + w  e.  GrpOp  /\ 
A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( u + w
v )  =  ( v + w u
) ) ) )
5825, 26, 573syl 18 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( + w  e.  AbelOp  <->  ( + w  e.  GrpOp  /\  A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( u + w
v )  =  ( v + w u
) ) ) )
5948, 51, 58mpbir2and 888 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  + w  e.  AbelOp )
60 tcnvec.2 . . 3  |-  . t  =  ( . cv `  N )
6160fnmulcv 25684 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  . t : ( CC  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
6260mulone 25685 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( 1 . t
u )  =  u )
63 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN )
64 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  s  e.  CC )
65 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
66 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
6760, 1distmlva 25688 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  s  e.  CC  /\  (
u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( s . t ( u + w v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) ) )
6863, 64, 65, 66, 67syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( s . t ( u + w v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) ) )
6968ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  ->  A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) ) )
70 simplll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  N  e.  NN )
71 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  s  e.  CC )
72 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  v  e.  CC )
73 simpllr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
7460, 1distsava 25689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  s  e.  CC  /\  (
v  e.  CC  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) ) )
7570, 71, 72, 73, 74syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  (
( s  +  v ) . t u
)  =  ( ( s . t u
) + w (
v . t u
) ) )
7660mulmulvec 25687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  s  e.  CC  /\  (
v  e.  CC  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t
( v . t
u ) ) )
7770, 71, 72, 73, 76syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  (
( s  x.  v
) . t u
)  =  ( s . t ( v . t u ) ) )
7875, 77jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  (
( ( s  +  v ) . t
u )  =  ( ( s . t
u ) + w
( v . t
u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t
u )  =  ( s . t (
v . t u
) ) ) )
7978ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  ->  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t
( v . t
u ) ) ) )
8069, 79jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  s  e.  CC )  ->  ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) )
8180ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) )
8262, 81jca 518 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 1 . t u )  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) ) )
8382ralrimiva 2626 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( ( 1 . t u )  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) ) )
841vecaddonto 25659 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  + w : ( ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) -onto-> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
85 forn 5454 . . 3  |-  ( + w : ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) -onto-> ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ran  + w  =  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
86 xpeq2 4704 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  + w  ->  ( CC  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  =  ( CC  X.  ran  + w ) )
87 id 19 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  + w  ->  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  =  ran  + w
)
8886, 87feq23d 5386 . . . . . 6  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  + w  ->  ( . t :
( CC  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  <->  . t : ( CC 
X.  ran  + w ) --> ran  + w ) )
89 raleq 2736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  + w  ->  ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  <->  A. v  e.  ran  + w ( s . t ( u + w v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) ) ) )
9089anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  + w  ->  ( ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) )  <->  ( A. v  e.  ran  + w
( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) ) )
9190ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  + w  ->  ( A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) )  <->  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ran  + w (
s . t (
u + w v
) )  =  ( ( s . t
u ) + w
( s . t
v ) )  /\  A. v  e.  CC  (
( ( s  +  v ) . t
u )  =  ( ( s . t
u ) + w
( v . t
u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t
u )  =  ( s . t (
v . t u
) ) ) ) ) )
9291anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  + w  ->  ( ( ( 1 . t u )  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( s . t (
u + w v
) )  =  ( ( s . t
u ) + w
( s . t
v ) )  /\  A. v  e.  CC  (
( ( s  +  v ) . t
u )  =  ( ( s . t
u ) + w
( v . t
u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t
u )  =  ( s . t (
v . t u
) ) ) ) )  <->  ( ( 1 . t u )  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ran  + w ( s . t ( u + w v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) ) ) )
9392raleqbi1dv 2744 . . . . . 6  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  + w  ->  ( A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( ( 1 . t u )  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) )  <->  A. u  e.  ran  + w (
( 1 . t
u )  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ran  + w (
s . t (
u + w v
) )  =  ( ( s . t
u ) + w
( s . t
v ) )  /\  A. v  e.  CC  (
( ( s  +  v ) . t
u )  =  ( ( s . t
u ) + w
( v . t
u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t
u )  =  ( s . t (
v . t u
) ) ) ) ) ) )
9488, 933anbi23d 1255 . . . . 5  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  + w  ->  ( ( + w  e.  AbelOp  /\  . t :
( CC  X.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( ( 1 . t u )  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) ) )  <-> 
( + w  e.  AbelOp  /\  . t : ( CC  X.  ran  + w ) --> ran  + w  /\  A. u  e. 
ran  + w ( ( 1 . t u
)  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ran  + w ( s . t ( u + w v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) ) ) ) )
95 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ran  + w  =  ran  + w
9695isvc 21137 . . . . 5  |-  ( <. + w ,  . t >.  e.  CVec OLD  <->  ( + w  e.  AbelOp  /\  . t :
( CC  X.  ran  + w ) --> ran  + w  /\  A. u  e. 
ran  + w ( ( 1 . t u
)  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ran  + w ( s . t ( u + w v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) ) ) )
9794, 96syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  =  ran  + w  ->  ( <. + w ,  . t >.  e.  CVec OLD  <->  ( + w  e.  AbelOp  /\  . t : ( CC  X.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( ( 1 . t u )  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) ) ) ) )
9897eqcoms 2286 . . 3  |-  ( ran 
+ w  =  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( <. + w ,  . t >.  e.  CVec OLD  <->  ( + w  e.  AbelOp  /\  . t : ( CC  X.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  A. u  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( ( 1 . t u )  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( s . t
( u + w
v ) )  =  ( ( s . t u ) + w ( s . t v ) )  /\  A. v  e.  CC  ( ( ( s  +  v ) . t u )  =  ( ( s . t u ) + w ( v . t u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t u )  =  ( s . t ( v . t u ) ) ) ) ) ) ) )
9984, 85, 983syl 18 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( <. + w ,  . t >.  e.  CVec OLD  <->  ( + w  e.  AbelOp  /\  . t : ( CC  X.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) --> ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  A. u  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ( ( 1 . t u
)  =  u  /\  A. s  e.  CC  ( A. v  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( s . t (
u + w v
) )  =  ( ( s . t
u ) + w
( s . t
v ) )  /\  A. v  e.  CC  (
( ( s  +  v ) . t
u )  =  ( ( s . t
u ) + w
( v . t
u ) )  /\  ( ( s  x.  v ) . t
u )  =  ( s . t (
v . t u
) ) ) ) ) ) ) )
10059, 61, 83, 99mpbir3and 1135 1  |-  ( N  e.  NN  ->  <. + w ,  . t >.  e.  CVec OLD )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   <.cop 3643    X. cxp 4687   ran crn 4690   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   NNcn 9746   ...cfz 10782   GrpOpcgr 20853   AbelOpcablo 20948   CVec
OLDcvc 21101    + cvcplcv 25644   0 cvc0cv 25650   . cvcsmcv 25679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-nn 9747  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-addcv 25645  df-nullcv 25651  df-mulcv 25680
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