MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcsni Structured version   Unicode version

Theorem tcsni 7682
Description: The transitive closure of a singleton. Proof suggested by Gérard Lang. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tc2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
tcsni  |-  ( TC
`  { A }
)  =  ( ( TC `  A )  u.  { A }
)

Proof of Theorem tcsni
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tc2.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
21snss 3926 . . . . 5  |-  ( A  e.  x  <->  { A }  C_  x )
32anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( A  e.  x  /\  Tr  x )  <->  ( { A }  C_  x  /\  Tr  x ) )
43abbii 2548 . . 3  |-  { x  |  ( A  e.  x  /\  Tr  x
) }  =  {
x  |  ( { A }  C_  x  /\  Tr  x ) }
54inteqi 4054 . 2  |-  |^| { x  |  ( A  e.  x  /\  Tr  x
) }  =  |^| { x  |  ( { A }  C_  x  /\  Tr  x ) }
61tc2 7681 . 2  |-  ( ( TC `  A )  u.  { A }
)  =  |^| { x  |  ( A  e.  x  /\  Tr  x
) }
7 snex 4405 . . 3  |-  { A }  e.  _V
8 tcvalg 7677 . . 3  |-  ( { A }  e.  _V  ->  ( TC `  { A } )  =  |^| { x  |  ( { A }  C_  x  /\  Tr  x ) } )
97, 8ax-mp 8 . 2  |-  ( TC
`  { A }
)  =  |^| { x  |  ( { A }  C_  x  /\  Tr  x ) }
105, 6, 93eqtr4ri 2467 1  |-  ( TC
`  { A }
)  =  ( ( TC `  A )  u.  { A }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   _Vcvv 2956    u. cun 3318    C_ wss 3320   {csn 3814   |^|cint 4050   Tr wtr 4302   ` cfv 5454   TCctc 7675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-tc 7676
  Copyright terms: Public domain W3C validator