Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcvalg Structured version   Unicode version

Theorem tcvalg 7679
 Description: Value of the transitive closure function. (The fact that this intersection exists is a non-trivial fact that depends on ax-inf 7595; see tz9.1 7667.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcvalg
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem tcvalg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5730 . . 3
2 sseq1 3371 . . . . . 6
32anbi1d 687 . . . . 5
43abbidv 2552 . . . 4
54inteqd 4057 . . 3
61, 5eqeq12d 2452 . 2
7 vex 2961 . . 3
87tz9.1c 7668 . . 3
9 df-tc 7678 . . . 4
109fvmpt2 5814 . . 3
117, 8, 10mp2an 655 . 2
126, 11vtoclg 3013 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  cvv 2958   wss 3322  cint 4052   wtr 4304  cfv 5456  ctc 7677 This theorem is referenced by:  tcid  7680  tctr  7681  tcmin  7682  tc2  7683  tcsni  7684  tcss  7685  tcel  7686  tcrank  7810 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-tc 7678
 Copyright terms: Public domain W3C validator