MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem1 Unicode version

Theorem tdeglem1 19850
Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
tdeglem.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
tdeglem1  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
Distinct variable groups:    A, h    h, I, m    h, V
Allowed substitution hints:    A( m)    H( h, m)    V( m)

Proof of Theorem tdeglem1
StepHypRef Expression
1 cnfld0 16650 . . 3  |-  0  =  ( 0g ` fld )
2 cnrng 16648 . . . 4  |-fld  e.  Ring
3 rngcmn 15623 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
42, 3mp1i 12 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->fld  e. CMnd
)
5 simpl 444 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  I  e.  V )
6 nn0subm 16679 . . . 4  |-  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
)
8 tdeglem.a . . . 4  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
98psrbagf 16361 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  h : I --> NN0 )
108psrbagsuppfi 16494 . . . 4  |-  ( ( h  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  ( `' h "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
1110ancoms 440 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  ( `' h "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
121, 4, 5, 7, 9, 11gsumsubmcl 15453 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  (fld 
gsumg  h )  e.  NN0 )
13 tdeglem.h . 2  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
1412, 13fmptd 5834 1  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2655   _Vcvv 2901    \ cdif 3262   {csn 3759    e. cmpt 4209   `'ccnv 4819   "cima 4823   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    ^m cmap 6956   Fincfn 7047   0cc0 8925   NNcn 9934   NN0cn0 10155    gsumg cgsu 13653  SubMndcsubmnd 14666  CMndccmn 15341   Ringcrg 15589  ℂfldccnfld 16628
This theorem is referenced by:  mdegleb  19856  mdeglt  19857  mdegldg  19858  mdegxrcl  19859  mdegcl  19861  mdegnn0cl  19863  mdegaddle  19866  mdegle0  19869  mdegmullem  19870
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-hash 11548  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-cring 15593  df-ur 15594  df-cnfld 16629
  Copyright terms: Public domain W3C validator