MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem1 Unicode version

Theorem tdeglem1 19460
Description: Functionality of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
tdeglem.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
tdeglem1  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
Distinct variable groups:    A, h    h, I, m    h, V
Allowed substitution hints:    A( m)    H( h, m)    V( m)

Proof of Theorem tdeglem1
StepHypRef Expression
1 cnfld0 16414 . . 3  |-  0  =  ( 0g ` fld )
2 cnrng 16412 . . . 4  |-fld  e.  Ring
3 rngcmn 15387 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
42, 3mp1i 11 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->fld  e. CMnd
)
5 simpl 443 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  I  e.  V )
6 nn0subm 16443 . . . 4  |-  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
76a1i 10 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
)
8 tdeglem.a . . . 4  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
98psrbagf 16129 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  h : I --> NN0 )
108psrbagsuppfi 16262 . . . 4  |-  ( ( h  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  ( `' h "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
1110ancoms 439 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  ( `' h "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
121, 4, 5, 7, 9, 11gsumsubmcl 15217 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  h  e.  A )  ->  (fld 
gsumg  h )  e.  NN0 )
13 tdeglem.h . 2  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
1412, 13fmptd 5700 1  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   0cc0 8753   NNcn 9762   NN0cn0 9981    gsumg cgsu 13417  SubMndcsubmnd 14430  CMndccmn 15105   Ringcrg 15353  ℂfldccnfld 16393
This theorem is referenced by:  mdegleb  19466  mdeglt  19467  mdegldg  19468  mdegxrcl  19469  mdegcl  19471  mdegnn0cl  19473  mdegaddle  19476  mdegle0  19479  mdegmullem  19480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-cnfld 16394
  Copyright terms: Public domain W3C validator