MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Unicode version

Theorem tdeglem3 19445
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
tdeglem.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
tdeglem3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  o F  +  Y
) )  =  ( ( H `  X
)  +  ( H `
 Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, h    h, I, m    h, V   
h, X, m    h, Y, m
Allowed substitution hints:    A( m)    H( h, m)    V( m)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 16383 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfld0 16398 . . 3  |-  0  =  ( 0g ` fld )
3 cnfldadd 16384 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4 cnrng 16396 . . . 4  |-fld  e.  Ring
5 rngcmn 15371 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
64, 5mp1i 11 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->fld  e. CMnd
)
7 simp1 955 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  I  e.  V )
8 tdeglem.a . . . . . 6  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
98psrbagf 16113 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> NN0 )
10 nn0sscn 9970 . . . . 5  |-  NN0  C_  CC
11 fss 5397 . . . . 5  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  X : I --> CC )
129, 10, 11sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  X : I --> CC )
13123adant3 975 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  X : I --> CC )
148psrbagf 16113 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> NN0 )
15 fss 5397 . . . . 5  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  Y : I --> CC )
1614, 10, 15sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> CC )
17163adant2 974 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  Y : I --> CC )
188psrbagsuppfi 16246 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  ( `' X "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
1918ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  ( `' X "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
20193adant3 975 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( `' X "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
218psrbagsuppfi 16246 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  A  /\  I  e.  V )  ->  ( `' Y "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
2221ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  A )  ->  ( `' Y "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
23223adant2 974 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( `' Y "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin )
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 15205 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  (fld 
gsumg  ( X  o F  +  Y ) )  =  ( (fld 
gsumg  X )  +  (fld  gsumg  Y ) ) )
258psrbagaddcl 16116 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  o F  +  Y )  e.  A )
26 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( h  =  ( X  o F  +  Y )  ->  (fld 
gsumg  h )  =  (fld  gsumg  ( X  o F  +  Y
) ) )
27 tdeglem.h . . . 4  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
28 ovex 5883 . . . 4  |-  (fld  gsumg  ( X  o F  +  Y ) )  e.  _V
2926, 27, 28fvmpt 5602 . . 3  |-  ( ( X  o F  +  Y )  e.  A  ->  ( H `  ( X  o F  +  Y
) )  =  (fld  gsumg  ( X  o F  +  Y
) ) )
3025, 29syl 15 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  o F  +  Y
) )  =  (fld  gsumg  ( X  o F  +  Y
) ) )
31 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( h  =  X  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  X ) )
32 ovex 5883 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  X )  e.  _V
3331, 27, 32fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( H `  X )  =  (fld 
gsumg  X ) )
34 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( h  =  Y  ->  (fld  gsumg  h )  =  (fld  gsumg  Y ) )
35 ovex 5883 . . . . 5  |-  (fld  gsumg  Y )  e.  _V
3634, 27, 35fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( Y  e.  A  ->  ( H `  Y )  =  (fld 
gsumg  Y ) )
3733, 36oveqan12d 5877 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  +  ( H `  Y ) )  =  ( (fld  gsumg  X )  +  (fld 
gsumg  Y ) ) )
38373adant1 973 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( H `  X )  +  ( H `  Y ) )  =  ( (fld  gsumg  X )  +  (fld 
gsumg  Y ) ) )
3924, 30, 383eqtr4d 2325 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( H `  ( X  o F  +  Y
) )  =  ( ( H `  X
)  +  ( H `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740   NNcn 9746   NN0cn0 9965    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337  ℂfldccnfld 16377
This theorem is referenced by:  mdegmullem  19464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-cnfld 16378
  Copyright terms: Public domain W3C validator