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Theorem tendocnv 31211
Description: Converse of a trace-preserving endomorphism value. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendosp.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendosp.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendocnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  =  ( S `  `' F ) )

Proof of Theorem tendocnv
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 tendosp.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendosp.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendosp.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
52, 3, 4tendocl 30956 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F )  e.  T
)
6 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
76, 2, 3ltrn1o 30313 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T
)  ->  ( S `  F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
81, 5, 7syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
9 f1ococnv1 5502 . . . 4  |-  ( ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' ( S `
 F )  o.  ( S `  F
) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1110coeq1d 4845 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  `' ( S `  F ) ) )
12 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  S  e.  E )
136, 2, 4tendoid 30962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
141, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
156, 2, 3ltrn1o 30313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
16153adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
17 f1ococnv2 5500 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1918fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  ( F  o.  `' F ) )  =  ( S `  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
20 f1ococnv2 5500 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
218, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
2214, 19, 213eqtr4rd 2326 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( S `  ( F  o.  `' F
) ) )
23 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  T )
242, 3ltrncnv 30335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
25243adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
262, 3, 4tendospdi1 31210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  F  e.  T  /\  `' F  e.  T ) )  -> 
( S `  ( F  o.  `' F
) )  =  ( ( S `  F
)  o.  ( S `
 `' F ) ) )
271, 12, 23, 25, 26syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  ( F  o.  `' F ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F
) ) )
2822, 27eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F
) ) )
2928coeq2d 4846 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' ( S `  F )  o.  ( ( S `
 F )  o.  `' ( S `  F ) ) )  =  ( `' ( S `  F )  o.  ( ( S `
 F )  o.  ( S `  `' F ) ) ) )
30 coass 5191 . . . 4  |-  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( `' ( S `  F
)  o.  ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 F ) ) )
31 coass 5191 . . . 4  |-  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) )  =  ( `' ( S `  F
)  o.  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' F ) ) )
3229, 30, 313eqtr4g 2340 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) ) )
3310coeq1d 4845 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  ( S `
 `' F ) )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  ( S `  `' F ) ) )
342, 3, 4tendocl 30956 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F )  e.  T
)
3525, 34syld3an3 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F )  e.  T
)
366, 2, 3ltrn1o 30313 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  `' F )  e.  T
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
371, 35, 36syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
38 f1of 5472 . . . 4  |-  ( ( S `  `' F
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  ( S `  `' F ) : (
Base `  K ) --> ( Base `  K )
)
39 fcoi2 5416 . . . 4  |-  ( ( S `  `' F
) : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  (
(  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  ( S `  `' F ) )  =  ( S `  `' F ) )
4037, 38, 393syl 18 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  ( S `  `' F
) )  =  ( S `  `' F
) )
4132, 33, 403eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( `' ( S `  F )  o.  ( S `  F )
)  o.  `' ( S `  F ) )  =  ( S `
 `' F ) )
422, 3ltrncnv 30335 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  e.  T )
431, 5, 42syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  e.  T )
446, 2, 3ltrn1o 30313 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' ( S `
 F )  e.  T )  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
451, 43, 44syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
46 f1of 5472 . . 3  |-  ( `' ( S `  F
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  `' ( S `  F ) : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
) )
47 fcoi2 5416 . . 3  |-  ( `' ( S `  F
) : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  (
(  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  `' ( S `
 F ) )  =  `' ( S `
 F ) )
4845, 46, 473syl 18 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  `' ( S `  F ) )  =  `' ( S `  F ) )
4911, 41, 483eqtr3rd 2324 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  `' ( S `  F )  =  ( S `  `' F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   Basecbs 13148   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   TEndoctendo 30941
This theorem is referenced by:  tendospcanN  31213  dihjatcclem4  31611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944
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