Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoco2 Unicode version

Theorem tendoco2 30330
Description: Distribution of compositions in preparation for endomorphism sum definition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendof.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendof.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendoco2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U `  ( F  o.  G ) )  o.  ( V `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( ( U `  F )  o.  ( V `  F )
)  o.  ( ( U `  G )  o.  ( V `  G ) ) ) )

Proof of Theorem tendoco2
StepHypRef Expression
1 simp1l 979 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  K  e.  HL )
2 simp1r 980 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  W  e.  H )
3 simp2l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  U  e.  E )
4 simp3l 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  F  e.  T )
5 simp3r 984 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  G  e.  T )
6 tendof.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 tendof.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 tendof.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
96, 7, 8tendovalco 30327 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  U  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( U `  ( F  o.  G ) )  =  ( ( U `  F )  o.  ( U `  G )
) )
101, 2, 3, 4, 5, 9syl32anc 1190 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( U `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( U `  F
)  o.  ( U `
 G ) ) )
11 simp2r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  V  e.  E )
126, 7, 8tendovalco 30327 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( V `  ( F  o.  G ) )  =  ( ( V `  F )  o.  ( V `  G )
) )
131, 2, 11, 4, 5, 12syl32anc 1190 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( V `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( V `  F
)  o.  ( V `
 G ) ) )
1410, 13coeq12d 4848 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U `  ( F  o.  G ) )  o.  ( V `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( ( U `  F )  o.  ( U `  G )
)  o.  ( ( V `  F )  o.  ( V `  G ) ) ) )
15 simp1 955 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
166, 7, 8tendocl 30329 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( U `  G )  e.  T
)
1715, 3, 5, 16syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( U `  G )  e.  T
)
186, 7, 8tendocl 30329 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( V `  F )  e.  T
)
1915, 11, 4, 18syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( V `  F )  e.  T
)
206, 7ltrnco4 30301 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  G )  e.  T  /\  ( V `  F
)  e.  T )  ->  ( ( ( U `  F )  o.  ( U `  G ) )  o.  ( ( V `  F )  o.  ( V `  G )
) )  =  ( ( ( U `  F )  o.  ( V `  F )
)  o.  ( ( U `  G )  o.  ( V `  G ) ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( (
( U `  F
)  o.  ( U `
 G ) )  o.  ( ( V `
 F )  o.  ( V `  G
) ) )  =  ( ( ( U `
 F )  o.  ( V `  F
) )  o.  (
( U `  G
)  o.  ( V `
 G ) ) ) )
2214, 21eqtrd 2315 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U `  ( F  o.  G ) )  o.  ( V `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( ( U `  F )  o.  ( V `  F )
)  o.  ( ( U `  G )  o.  ( V `  G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    o. ccom 4693   ` cfv 5255   HLchlt 28913   LHypclh 29546   LTrncltrn 29663   TEndoctendo 30314
This theorem is referenced by:  tendoplco2  30341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 28739  df-ol 28741  df-oml 28742  df-covers 28829  df-ats 28830  df-atl 28861  df-cvlat 28885  df-hlat 28914  df-llines 29060  df-lplanes 29061  df-lvols 29062  df-lines 29063  df-psubsp 29065  df-pmap 29066  df-padd 29358  df-lhyp 29550  df-laut 29551  df-ldil 29666  df-ltrn 29667  df-trl 29721  df-tendo 30317
  Copyright terms: Public domain W3C validator