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Theorem tendoco2 31565
Description: Distribution of compositions in preparation for endomorphism sum definition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendof.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendof.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendoco2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U `  ( F  o.  G ) )  o.  ( V `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( ( U `  F )  o.  ( V `  F )
)  o.  ( ( U `  G )  o.  ( V `  G ) ) ) )

Proof of Theorem tendoco2
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  K  e.  HL )
2 simp1r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  W  e.  H )
3 simp2l 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  U  e.  E )
4 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  F  e.  T )
5 simp3r 986 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  G  e.  T )
6 tendof.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 tendof.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 tendof.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
96, 7, 8tendovalco 31562 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  U  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( U `  ( F  o.  G ) )  =  ( ( U `  F )  o.  ( U `  G )
) )
101, 2, 3, 4, 5, 9syl32anc 1192 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( U `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( U `  F
)  o.  ( U `
 G ) ) )
11 simp2r 984 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  V  e.  E )
126, 7, 8tendovalco 31562 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( V `  ( F  o.  G ) )  =  ( ( V `  F )  o.  ( V `  G )
) )
131, 2, 11, 4, 5, 12syl32anc 1192 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( V `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( V `  F
)  o.  ( V `
 G ) ) )
1410, 13coeq12d 5037 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U `  ( F  o.  G ) )  o.  ( V `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( ( U `  F )  o.  ( U `  G )
)  o.  ( ( V `  F )  o.  ( V `  G ) ) ) )
15 simp1 957 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
166, 7, 8tendocl 31564 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( U `  G )  e.  T
)
1715, 3, 5, 16syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( U `  G )  e.  T
)
186, 7, 8tendocl 31564 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( V `  F )  e.  T
)
1915, 11, 4, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( V `  F )  e.  T
)
206, 7ltrnco4 31536 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  G )  e.  T  /\  ( V `  F
)  e.  T )  ->  ( ( ( U `  F )  o.  ( U `  G ) )  o.  ( ( V `  F )  o.  ( V `  G )
) )  =  ( ( ( U `  F )  o.  ( V `  F )
)  o.  ( ( U `  G )  o.  ( V `  G ) ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( (
( U `  F
)  o.  ( U `
 G ) )  o.  ( ( V `
 F )  o.  ( V `  G
) ) )  =  ( ( ( U `
 F )  o.  ( V `  F
) )  o.  (
( U `  G
)  o.  ( V `
 G ) ) ) )
2214, 21eqtrd 2468 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U `  ( F  o.  G ) )  o.  ( V `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( ( U `  F )  o.  ( V `  F )
)  o.  ( ( U `  G )  o.  ( V `  G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    o. ccom 4882   ` cfv 5454   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   TEndoctendo 31549
This theorem is referenced by:  tendoplco2  31576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-map 7020  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tendo 31552
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