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Theorem tendococl 31569
Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoco.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendococl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T )  e.  E
)

Proof of Theorem tendococl
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendoco.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2436 . 2  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2436 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoco.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simp1 957 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  S  e.  E )
82, 3, 5tendof 31560 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  S :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
96, 7, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  S :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
10 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  T  e.  E )
112, 3, 5tendof 31560 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E
)  ->  T :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
126, 10, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  T :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
13 fco 5600 . . 3  |-  ( ( S : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  T : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  ->  ( S  o.  T ) : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
149, 12, 13syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T ) : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
15 simp11l 1068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  K  e.  HL )
16 simp11r 1069 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  W  e.  H )
17 simp13 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  T  e.  E )
18 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
19 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
202, 3, 5tendovalco 31562 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  E )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( T `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( T `  f
)  o.  ( T `
 g ) ) )
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl32anc 1192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g ) ) )
2221fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) )  =  ( S `  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g )
) ) )
23 simp12 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  S  e.  E )
24 simp11 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
252, 3, 5tendocl 31564 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2624, 17, 18, 25syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
272, 3, 5tendocl 31564 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2824, 17, 19, 27syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
292, 3, 5tendovalco 31562 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( S `  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g )
) )  =  ( ( S `  ( T `  f )
)  o.  ( S `
 ( T `  g ) ) ) )
3015, 16, 23, 26, 28, 29syl32anc 1192 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  (
( T `  f
)  o.  ( T `
 g ) ) )  =  ( ( S `  ( T `
 f ) )  o.  ( S `  ( T `  g ) ) ) )
3122, 30eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) )  =  ( ( S `
 ( T `  f ) )  o.  ( S `  ( T `  g )
) ) )
322, 3ltrnco 31516 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
3324, 18, 19, 32syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
342, 3, 5tendocoval 31563 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  (
f  o.  g )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  ->  (
( S  o.  T
) `  ( f  o.  g ) )  =  ( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) ) )
3524, 23, 17, 33, 34syl121anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  (
f  o.  g ) )  =  ( S `
 ( T `  ( f  o.  g
) ) ) )
362, 3, 5tendocoval 31563 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
3715, 16, 23, 17, 18, 36syl221anc 1195 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  f
)  =  ( S `
 ( T `  f ) ) )
382, 3, 5tendocoval 31563 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  g )  =  ( S `  ( T `
 g ) ) )
3915, 16, 23, 17, 19, 38syl221anc 1195 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  g
)  =  ( S `
 ( T `  g ) ) )
4037, 39coeq12d 5037 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( S  o.  T ) `  f )  o.  (
( S  o.  T
) `  g )
)  =  ( ( S `  ( T `
 f ) )  o.  ( S `  ( T `  g ) ) ) )
4131, 35, 403eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( ( S  o.  T
) `  f )  o.  ( ( S  o.  T ) `  g
) ) )
42 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
43 simpl1l 1008 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  K  e.  HL )
44 hllat 30161 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4543, 44syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  K  e.  Lat )
46 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
47 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  S  e.  E )
48 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  T  e.  E )
49 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5046, 47, 48, 49, 36syl121anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
5146, 48, 49, 25syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
522, 3, 5tendocl 31564 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  f )
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
5346, 47, 51, 52syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( S `  ( T `  f
) )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5450, 53eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5542, 2, 3, 4trlcl 30961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S  o.  T ) `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5646, 54, 55syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5742, 2, 3, 4trlcl 30961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5846, 51, 57syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5942, 2, 3, 4trlcl 30961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
6046, 49, 59syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
61 simpl1r 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  W  e.  H )
6243, 61, 47, 48, 49, 36syl221anc 1195 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
6362fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  ( T `  f )
) ) )
641, 2, 3, 4, 5tendotp 31558 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  ( T `  f
) ) ) ( le `  K ) ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( T `  f ) ) )
6546, 47, 51, 64syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  ( T `  f )
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) )
6663, 65eqbrtrd 4232 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) )
671, 2, 3, 4, 5tendotp 31558 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( T `  f ) ) ( le `  K ) ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
)
6846, 48, 49, 67syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) )
6942, 1, 45, 56, 58, 60, 66, 68lattrd 14487 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) )
701, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 69istendod 31559 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T )  e.  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454   Basecbs 13469   lecple 13536   Latclat 14474   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   trLctrl 30955   TEndoctendo 31549
This theorem is referenced by:  tendodi1  31581  tendodi2  31582  tendo0mul  31623  tendo0mulr  31624  tendoconid  31626  cdleml3N  31775  cdleml8  31780  erngdvlem3  31787  erngdvlem3-rN  31795  dvalveclem  31823  dvhvscacl  31901  dvhlveclem  31906  diblss  31968  dicvscacl  31989  dih1dimatlem0  32126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-map 7020  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tendo 31552
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