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Theorem tendococl 31583
Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoco.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendococl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T )  e.  E
)

Proof of Theorem tendococl
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendoco.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2296 . 2  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2296 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoco.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simp1 955 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  S  e.  E )
82, 3, 5tendof 31574 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  S :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
96, 7, 8syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  S :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
10 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  T  e.  E )
112, 3, 5tendof 31574 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E
)  ->  T :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
126, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  T :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
13 fco 5414 . . 3  |-  ( ( S : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  T : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  ->  ( S  o.  T ) : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
149, 12, 13syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T ) : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
15 simp11l 1066 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  K  e.  HL )
16 simp11r 1067 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  W  e.  H )
17 simp13 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  T  e.  E )
18 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
19 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
202, 3, 5tendovalco 31576 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  E )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( T `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( T `  f
)  o.  ( T `
 g ) ) )
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl32anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g ) ) )
2221fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) )  =  ( S `  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g )
) ) )
23 simp12 986 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  S  e.  E )
24 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
252, 3, 5tendocl 31578 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2624, 17, 18, 25syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
272, 3, 5tendocl 31578 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2824, 17, 19, 27syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
292, 3, 5tendovalco 31576 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( S `  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g )
) )  =  ( ( S `  ( T `  f )
)  o.  ( S `
 ( T `  g ) ) ) )
3015, 16, 23, 26, 28, 29syl32anc 1190 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  (
( T `  f
)  o.  ( T `
 g ) ) )  =  ( ( S `  ( T `
 f ) )  o.  ( S `  ( T `  g ) ) ) )
3122, 30eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) )  =  ( ( S `
 ( T `  f ) )  o.  ( S `  ( T `  g )
) ) )
322, 3ltrnco 31530 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
3324, 18, 19, 32syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
342, 3, 5tendocoval 31577 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  (
f  o.  g )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  ->  (
( S  o.  T
) `  ( f  o.  g ) )  =  ( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) ) )
3524, 23, 17, 33, 34syl121anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  (
f  o.  g ) )  =  ( S `
 ( T `  ( f  o.  g
) ) ) )
362, 3, 5tendocoval 31577 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
3715, 16, 23, 17, 18, 36syl221anc 1193 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  f
)  =  ( S `
 ( T `  f ) ) )
382, 3, 5tendocoval 31577 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  g )  =  ( S `  ( T `
 g ) ) )
3915, 16, 23, 17, 19, 38syl221anc 1193 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  g
)  =  ( S `
 ( T `  g ) ) )
4037, 39coeq12d 4864 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( S  o.  T ) `  f )  o.  (
( S  o.  T
) `  g )
)  =  ( ( S `  ( T `
 f ) )  o.  ( S `  ( T `  g ) ) ) )
4131, 35, 403eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( ( S  o.  T
) `  f )  o.  ( ( S  o.  T ) `  g
) ) )
42 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
43 simpl1l 1006 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  K  e.  HL )
44 hllat 30175 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4543, 44syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  K  e.  Lat )
46 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
47 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  S  e.  E )
48 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  T  e.  E )
49 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5046, 47, 48, 49, 36syl121anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
5146, 48, 49, 25syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
522, 3, 5tendocl 31578 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  f )
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
5346, 47, 51, 52syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( S `  ( T `  f
) )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5450, 53eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5542, 2, 3, 4trlcl 30975 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S  o.  T ) `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5646, 54, 55syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5742, 2, 3, 4trlcl 30975 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5846, 51, 57syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5942, 2, 3, 4trlcl 30975 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
6046, 49, 59syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
61 simpl1r 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  W  e.  H )
6243, 61, 47, 48, 49, 36syl221anc 1193 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
6362fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  ( T `  f )
) ) )
641, 2, 3, 4, 5tendotp 31572 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  ( T `  f
) ) ) ( le `  K ) ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( T `  f ) ) )
6546, 47, 51, 64syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  ( T `  f )
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) )
6663, 65eqbrtrd 4059 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) )
671, 2, 3, 4, 5tendotp 31572 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( T `  f ) ) ( le `  K ) ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
)
6846, 48, 49, 67syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) )
6942, 1, 45, 56, 58, 60, 66, 68lattrd 14180 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) )
701, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 69istendod 31573 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T )  e.  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Latclat 14167   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969   TEndoctendo 31563
This theorem is referenced by:  tendodi1  31595  tendodi2  31596  tendo0mul  31637  tendo0mulr  31638  tendoconid  31640  cdleml3N  31789  cdleml8  31794  erngdvlem3  31801  erngdvlem3-rN  31809  dvalveclem  31837  dvhvscacl  31915  dvhlveclem  31920  diblss  31982  dicvscacl  32003  dih1dimatlem0  32140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566
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