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Theorem tendococl 30961
Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoco.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendococl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T )  e.  E
)

Proof of Theorem tendococl
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendoco.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2283 . 2  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2283 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoco.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simp1 955 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  S  e.  E )
82, 3, 5tendof 30952 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  S :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
96, 7, 8syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  S :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
10 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  T  e.  E )
112, 3, 5tendof 30952 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E
)  ->  T :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
126, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  T :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
13 fco 5398 . . 3  |-  ( ( S : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  T : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  ->  ( S  o.  T ) : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
149, 12, 13syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T ) : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
15 simp11l 1066 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  K  e.  HL )
16 simp11r 1067 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  W  e.  H )
17 simp13 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  T  e.  E )
18 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
19 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
202, 3, 5tendovalco 30954 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  E )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( T `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( T `  f
)  o.  ( T `
 g ) ) )
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl32anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g ) ) )
2221fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) )  =  ( S `  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g )
) ) )
23 simp12 986 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  S  e.  E )
24 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
252, 3, 5tendocl 30956 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2624, 17, 18, 25syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
272, 3, 5tendocl 30956 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2824, 17, 19, 27syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
292, 3, 5tendovalco 30954 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( T `  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( S `  ( ( T `  f )  o.  ( T `  g )
) )  =  ( ( S `  ( T `  f )
)  o.  ( S `
 ( T `  g ) ) ) )
3015, 16, 23, 26, 28, 29syl32anc 1190 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  (
( T `  f
)  o.  ( T `
 g ) ) )  =  ( ( S `  ( T `
 f ) )  o.  ( S `  ( T `  g ) ) ) )
3122, 30eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) )  =  ( ( S `
 ( T `  f ) )  o.  ( S `  ( T `  g )
) ) )
322, 3ltrnco 30908 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
3324, 18, 19, 32syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
342, 3, 5tendocoval 30955 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  (
f  o.  g )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  ->  (
( S  o.  T
) `  ( f  o.  g ) )  =  ( S `  ( T `  ( f  o.  g ) ) ) )
3524, 23, 17, 33, 34syl121anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  (
f  o.  g ) )  =  ( S `
 ( T `  ( f  o.  g
) ) ) )
362, 3, 5tendocoval 30955 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
3715, 16, 23, 17, 18, 36syl221anc 1193 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  f
)  =  ( S `
 ( T `  f ) ) )
382, 3, 5tendocoval 30955 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  g )  =  ( S `  ( T `
 g ) ) )
3915, 16, 23, 17, 19, 38syl221anc 1193 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  g
)  =  ( S `
 ( T `  g ) ) )
4037, 39coeq12d 4848 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( S  o.  T ) `  f )  o.  (
( S  o.  T
) `  g )
)  =  ( ( S `  ( T `
 f ) )  o.  ( S `  ( T `  g ) ) ) )
4131, 35, 403eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( S  o.  T ) `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( ( S  o.  T
) `  f )  o.  ( ( S  o.  T ) `  g
) ) )
42 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
43 simpl1l 1006 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  K  e.  HL )
44 hllat 29553 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4543, 44syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  K  e.  Lat )
46 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
47 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  S  e.  E )
48 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  T  e.  E )
49 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5046, 47, 48, 49, 36syl121anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
5146, 48, 49, 25syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
522, 3, 5tendocl 30956 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( S `  ( T `  f )
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
5346, 47, 51, 52syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( S `  ( T `  f
) )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5450, 53eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5542, 2, 3, 4trlcl 30353 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S  o.  T ) `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5646, 54, 55syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5742, 2, 3, 4trlcl 30353 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T `  f )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5846, 51, 57syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) )  e.  (
Base `  K )
)
5942, 2, 3, 4trlcl 30353 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
6046, 49, 59syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
61 simpl1r 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  W  e.  H )
6243, 61, 47, 48, 49, 36syl221anc 1193 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( ( S  o.  T ) `  f )  =  ( S `  ( T `
 f ) ) )
6362fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  ( T `  f )
) ) )
641, 2, 3, 4, 5tendotp 30950 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( T `  f
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  ( T `  f
) ) ) ( le `  K ) ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( T `  f ) ) )
6546, 47, 51, 64syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  ( T `  f )
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) )
6663, 65eqbrtrd 4043 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) )
671, 2, 3, 4, 5tendotp 30950 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  T  e.  E  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( T `  f ) ) ( le `  K ) ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
)
6846, 48, 49, 67syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( T `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) )
6942, 1, 45, 56, 58, 60, 66, 68lattrd 14164 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( S  o.  T ) `  f
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) )
701, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 69istendod 30951 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  T  e.  E
)  ->  ( S  o.  T )  e.  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Latclat 14151   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347   TEndoctendo 30941
This theorem is referenced by:  tendodi1  30973  tendodi2  30974  tendo0mul  31015  tendo0mulr  31016  tendoconid  31018  cdleml3N  31167  cdleml8  31172  erngdvlem3  31179  erngdvlem3-rN  31187  dvalveclem  31215  dvhvscacl  31293  dvhlveclem  31298  diblss  31360  dicvscacl  31381  dih1dimatlem0  31518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944
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