Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendococl Structured version   Unicode version

Theorem tendococl 31569
 Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoco.h
tendoco.e
Assertion
Ref Expression
tendococl

Proof of Theorem tendococl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . 2
2 tendoco.h . 2
3 eqid 2436 . 2
4 eqid 2436 . 2
5 tendoco.e . 2
6 simp1 957 . 2
7 simp2 958 . . . 4
82, 3, 5tendof 31560 . . . 4
96, 7, 8syl2anc 643 . . 3
10 simp3 959 . . . 4
112, 3, 5tendof 31560 . . . 4
126, 10, 11syl2anc 643 . . 3
13 fco 5600 . . 3
149, 12, 13syl2anc 643 . 2
15 simp11l 1068 . . . . . 6
16 simp11r 1069 . . . . . 6
17 simp13 989 . . . . . 6
18 simp2 958 . . . . . 6
19 simp3 959 . . . . . 6
202, 3, 5tendovalco 31562 . . . . . 6
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl32anc 1192 . . . . 5
2221fveq2d 5732 . . . 4
23 simp12 988 . . . . 5
24 simp11 987 . . . . . 6
252, 3, 5tendocl 31564 . . . . . 6
2624, 17, 18, 25syl3anc 1184 . . . . 5
272, 3, 5tendocl 31564 . . . . . 6
2824, 17, 19, 27syl3anc 1184 . . . . 5
292, 3, 5tendovalco 31562 . . . . 5
3015, 16, 23, 26, 28, 29syl32anc 1192 . . . 4
3122, 30eqtrd 2468 . . 3
322, 3ltrnco 31516 . . . . 5
3324, 18, 19, 32syl3anc 1184 . . . 4
342, 3, 5tendocoval 31563 . . . 4
3524, 23, 17, 33, 34syl121anc 1189 . . 3
362, 3, 5tendocoval 31563 . . . . 5
3715, 16, 23, 17, 18, 36syl221anc 1195 . . . 4
382, 3, 5tendocoval 31563 . . . . 5
3915, 16, 23, 17, 19, 38syl221anc 1195 . . . 4
4037, 39coeq12d 5037 . . 3
4131, 35, 403eqtr4d 2478 . 2
42 eqid 2436 . . 3
43 simpl1l 1008 . . . 4
44 hllat 30161 . . . 4
4543, 44syl 16 . . 3
46 simpl1 960 . . . 4
47 simpl2 961 . . . . . 6
48 simpl3 962 . . . . . 6
49 simpr 448 . . . . . 6
5046, 47, 48, 49, 36syl121anc 1189 . . . . 5
5146, 48, 49, 25syl3anc 1184 . . . . . 6
522, 3, 5tendocl 31564 . . . . . 6
5346, 47, 51, 52syl3anc 1184 . . . . 5
5450, 53eqeltrd 2510 . . . 4
5542, 2, 3, 4trlcl 30961 . . . 4
5646, 54, 55syl2anc 643 . . 3
5742, 2, 3, 4trlcl 30961 . . . 4
5846, 51, 57syl2anc 643 . . 3
5942, 2, 3, 4trlcl 30961 . . . 4
6046, 49, 59syl2anc 643 . . 3
61 simpl1r 1009 . . . . . 6
6243, 61, 47, 48, 49, 36syl221anc 1195 . . . . 5
6362fveq2d 5732 . . . 4
641, 2, 3, 4, 5tendotp 31558 . . . . 5
6546, 47, 51, 64syl3anc 1184 . . . 4
6663, 65eqbrtrd 4232 . . 3
671, 2, 3, 4, 5tendotp 31558 . . . 4
6846, 48, 49, 67syl3anc 1184 . . 3
6942, 1, 45, 56, 58, 60, 66, 68lattrd 14487 . 2
701, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 69istendod 31559 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   class class class wbr 4212   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  cbs 13469  cple 13536  clat 14474  chlt 30148  clh 30781  cltrn 30898  ctrl 30955  ctendo 31549 This theorem is referenced by:  tendodi1  31581  tendodi2  31582  tendo0mul  31623  tendo0mulr  31624  tendoconid  31626  cdleml3N  31775  cdleml8  31780  erngdvlem3  31787  erngdvlem3-rN  31795  dvalveclem  31823  dvhvscacl  31901  dvhlveclem  31906  diblss  31968  dicvscacl  31989  dih1dimatlem0  32126 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-map 7020  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tendo 31552
 Copyright terms: Public domain W3C validator