Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendococl Unicode version

Theorem tendococl 30961
 Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoco.h
tendoco.e
Assertion
Ref Expression
tendococl

Proof of Theorem tendococl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2
2 tendoco.h . 2
3 eqid 2283 . 2
4 eqid 2283 . 2
5 tendoco.e . 2
6 simp1 955 . 2
7 simp2 956 . . . 4
82, 3, 5tendof 30952 . . . 4
96, 7, 8syl2anc 642 . . 3
10 simp3 957 . . . 4
112, 3, 5tendof 30952 . . . 4
126, 10, 11syl2anc 642 . . 3
13 fco 5398 . . 3
149, 12, 13syl2anc 642 . 2
15 simp11l 1066 . . . . . 6
16 simp11r 1067 . . . . . 6
17 simp13 987 . . . . . 6
18 simp2 956 . . . . . 6
19 simp3 957 . . . . . 6
202, 3, 5tendovalco 30954 . . . . . 6
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl32anc 1190 . . . . 5
2221fveq2d 5529 . . . 4
23 simp12 986 . . . . 5
24 simp11 985 . . . . . 6
252, 3, 5tendocl 30956 . . . . . 6
2624, 17, 18, 25syl3anc 1182 . . . . 5
272, 3, 5tendocl 30956 . . . . . 6
2824, 17, 19, 27syl3anc 1182 . . . . 5
292, 3, 5tendovalco 30954 . . . . 5
3015, 16, 23, 26, 28, 29syl32anc 1190 . . . 4
3122, 30eqtrd 2315 . . 3
322, 3ltrnco 30908 . . . . 5
3324, 18, 19, 32syl3anc 1182 . . . 4
342, 3, 5tendocoval 30955 . . . 4
3524, 23, 17, 33, 34syl121anc 1187 . . 3
362, 3, 5tendocoval 30955 . . . . 5
3715, 16, 23, 17, 18, 36syl221anc 1193 . . . 4
382, 3, 5tendocoval 30955 . . . . 5
3915, 16, 23, 17, 19, 38syl221anc 1193 . . . 4
4037, 39coeq12d 4848 . . 3
4131, 35, 403eqtr4d 2325 . 2
42 eqid 2283 . . 3
43 simpl1l 1006 . . . 4
44 hllat 29553 . . . 4
4543, 44syl 15 . . 3
46 simpl1 958 . . . 4
47 simpl2 959 . . . . . 6
48 simpl3 960 . . . . . 6
49 simpr 447 . . . . . 6
5046, 47, 48, 49, 36syl121anc 1187 . . . . 5
5146, 48, 49, 25syl3anc 1182 . . . . . 6
522, 3, 5tendocl 30956 . . . . . 6
5346, 47, 51, 52syl3anc 1182 . . . . 5
5450, 53eqeltrd 2357 . . . 4
5542, 2, 3, 4trlcl 30353 . . . 4
5646, 54, 55syl2anc 642 . . 3
5742, 2, 3, 4trlcl 30353 . . . 4
5846, 51, 57syl2anc 642 . . 3
5942, 2, 3, 4trlcl 30353 . . . 4
6046, 49, 59syl2anc 642 . . 3
61 simpl1r 1007 . . . . . 6
6243, 61, 47, 48, 49, 36syl221anc 1193 . . . . 5
6362fveq2d 5529 . . . 4
641, 2, 3, 4, 5tendotp 30950 . . . . 5
6546, 47, 51, 64syl3anc 1182 . . . 4
6663, 65eqbrtrd 4043 . . 3
671, 2, 3, 4, 5tendotp 30950 . . . 4
6846, 48, 49, 67syl3anc 1182 . . 3
6942, 1, 45, 56, 58, 60, 66, 68lattrd 14164 . 2
701, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 69istendod 30951 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   class class class wbr 4023   ccom 4693  wf 5251  cfv 5255  cbs 13148  cple 13215  clat 14151  chlt 29540  clh 30173  cltrn 30290  ctrl 30347  ctendo 30941 This theorem is referenced by:  tendodi1  30973  tendodi2  30974  tendo0mul  31015  tendo0mulr  31016  tendoconid  31018  cdleml3N  31167  cdleml8  31172  erngdvlem3  31179  erngdvlem3-rN  31187  dvalveclem  31215  dvhvscacl  31293  dvhlveclem  31298  diblss  31360  dicvscacl  31381  dih1dimatlem0  31518 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944
 Copyright terms: Public domain W3C validator