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Theorem tendodi1 30898
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendodi1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  ( U P V ) )  =  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    S( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  S  e.  E )
3 simpr2 964 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  U  e.  E )
4 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  V  e.  E )
5 tendopl.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 tendopl.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
7 tendopl.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
8 tendopl.p . . . . 5  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
95, 6, 7, 8tendoplcl 30895 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
101, 3, 4, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U P V )  e.  E )
115, 7tendococl 30886 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( U P V )  e.  E )  ->  ( S  o.  ( U P V ) )  e.  E )
121, 2, 10, 11syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  ( U P V ) )  e.  E )
135, 7tendococl 30886 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  U  e.  E
)  ->  ( S  o.  U )  e.  E
)
141, 2, 3, 13syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  U
)  e.  E )
155, 7tendococl 30886 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( S  o.  V )  e.  E
)
161, 2, 4, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  V
)  e.  E )
175, 6, 7, 8tendoplcl 30895 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  o.  U )  e.  E  /\  ( S  o.  V
)  e.  E )  ->  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) )  e.  E
)
181, 14, 16, 17syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) )  e.  E )
19 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  K  e.  HL )
20 simpllr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  W  e.  H )
21 simplr1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  S  e.  E )
22 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 simplr2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  U  e.  E )
24 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
255, 6, 7tendocl 30881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( U `  g )  e.  T
)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( U `  g )  e.  T )
27 simplr3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  V  e.  E )
285, 6, 7tendocl 30881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( V `  g )  e.  T
)
2922, 27, 24, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( V `  g )  e.  T )
305, 6, 7tendovalco 30879 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( ( U `  g )  e.  T  /\  ( V `  g
)  e.  T ) )  ->  ( S `  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g )
) )  =  ( ( S `  ( U `  g )
)  o.  ( S `
 ( V `  g ) ) ) )
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g
) ) )  =  ( ( S `  ( U `  g ) )  o.  ( S `
 ( V `  g ) ) ) )
328, 6tendopl2 30891 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( U P V ) `  g
)  =  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) )
3323, 27, 24, 32syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  g )  =  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) ) )
3433fveq2d 5672 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  ( ( U P V ) `  g ) )  =  ( S `  (
( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) ) ) )
355, 6, 7tendocoval 30880 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  U
) `  g )  =  ( S `  ( U `  g ) ) )
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  U
) `  g )  =  ( S `  ( U `  g ) ) )
375, 6, 7tendocoval 30880 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  V
) `  g )  =  ( S `  ( V `  g ) ) )
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  V
) `  g )  =  ( S `  ( V `  g ) ) )
3936, 38coeq12d 4977 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  U ) `  g
)  o.  ( ( S  o.  V ) `
 g ) )  =  ( ( S `
 ( U `  g ) )  o.  ( S `  ( V `  g )
) ) )
4031, 34, 393eqtr4rd 2430 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  U ) `  g
)  o.  ( ( S  o.  V ) `
 g ) )  =  ( S `  ( ( U P V ) `  g
) ) )
4122, 21, 23, 13syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S  o.  U )  e.  E )
4222, 21, 27, 15syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S  o.  V )  e.  E )
438, 6tendopl2 30891 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  U
)  e.  E  /\  ( S  o.  V
)  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) `  g
)  =  ( ( ( S  o.  U
) `  g )  o.  ( ( S  o.  V ) `  g
) ) )
4441, 42, 24, 43syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) ) `  g )  =  ( ( ( S  o.  U ) `
 g )  o.  ( ( S  o.  V ) `  g
) ) )
4522, 23, 27, 9syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( U P V )  e.  E )
465, 6, 7tendocoval 30880 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  ( U P V )  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( S `  (
( U P V ) `  g ) ) )
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( S `  (
( U P V ) `  g ) ) )
4840, 44, 473eqtr4rd 2430 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) `  g
) )
4948ralrimiva 2732 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  A. g  e.  T  ( ( S  o.  ( U P V ) ) `  g )  =  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) ) `  g ) )
505, 6, 7tendoeq1 30878 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S  o.  ( U P V ) )  e.  E  /\  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) )  e.  E )  /\  A. g  e.  T  (
( S  o.  ( U P V ) ) `
 g )  =  ( ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) `  g
) )  ->  ( S  o.  ( U P V ) )  =  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V ) ) )
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1189 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  ( U P V ) )  =  ( ( S  o.  U ) P ( S  o.  V
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    e. cmpt 4207    o. ccom 4822   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   HLchlt 29465   LHypclh 30098   LTrncltrn 30215   TEndoctendo 30866
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  31104  erngdvlem3-rN  31112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-map 6956  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613  df-lvols 29614  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273  df-tendo 30869
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