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Theorem tendodi2 31279
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendodi2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S P U )  o.  V
)  =  ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    S( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendodi2
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  S  e.  E )
3 simpr2 964 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  U  e.  E )
4 tendopl.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 tendopl.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
6 tendopl.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
7 tendopl.p . . . . 5  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
84, 5, 6, 7tendoplcl 31275 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  U  e.  E
)  ->  ( S P U )  e.  E
)
91, 2, 3, 8syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S P U )  e.  E )
10 simpr3 965 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  V  e.  E )
114, 6tendococl 31266 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S P U )  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( ( S P U )  o.  V )  e.  E
)
121, 9, 10, 11syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S P U )  o.  V
)  e.  E )
134, 6tendococl 31266 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( S  o.  V )  e.  E
)
141, 2, 10, 13syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  V
)  e.  E )
154, 6tendococl 31266 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U  o.  V )  e.  E
)
161, 3, 10, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U  o.  V
)  e.  E )
174, 5, 6, 7tendoplcl 31275 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  o.  V )  e.  E  /\  ( U  o.  V
)  e.  E )  ->  ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V
) )  e.  E
)
181, 14, 16, 17syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) )  e.  E )
19 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
20 simplr1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  S  e.  E )
21 simplr2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  U  e.  E )
2219, 20, 21, 8syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S P U )  e.  E )
23 simplr3 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  V  e.  E )
24 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
254, 5, 6tendocoval 31260 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S P U )  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S P U )  o.  V
) `  g )  =  ( ( S P U ) `  ( V `  g ) ) )
2619, 22, 23, 24, 25syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S P U )  o.  V
) `  g )  =  ( ( S P U ) `  ( V `  g ) ) )
27 simplll 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  K  e.  HL )
28 simpllr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  W  e.  H )
294, 5, 6tendocoval 31260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  V
) `  g )  =  ( S `  ( V `  g ) ) )
3027, 28, 20, 23, 24, 29syl221anc 1195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  V
) `  g )  =  ( S `  ( V `  g ) ) )
314, 5, 6tendocoval 31260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( U  o.  V
) `  g )  =  ( U `  ( V `  g ) ) )
3227, 28, 21, 23, 24, 31syl221anc 1195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( U  o.  V
) `  g )  =  ( U `  ( V `  g ) ) )
3330, 32coeq12d 5004 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  V ) `  g
)  o.  ( ( U  o.  V ) `
 g ) )  =  ( ( S `
 ( V `  g ) )  o.  ( U `  ( V `  g )
) ) )
3419, 20, 23, 13syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S  o.  V )  e.  E )
3519, 21, 23, 15syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( U  o.  V )  e.  E )
367, 5tendopl2 31271 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  o.  V
)  e.  E  /\  ( U  o.  V
)  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V
) ) `  g
)  =  ( ( ( S  o.  V
) `  g )  o.  ( ( U  o.  V ) `  g
) ) )
3734, 35, 24, 36syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) `  g )  =  ( ( ( S  o.  V ) `
 g )  o.  ( ( U  o.  V ) `  g
) ) )
384, 5, 6tendocl 31261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( V `  g )  e.  T
)
3919, 23, 24, 38syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( V `  g )  e.  T )
407, 5tendopl2 31271 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  ( V `  g )  e.  T )  -> 
( ( S P U ) `  ( V `  g )
)  =  ( ( S `  ( V `
 g ) )  o.  ( U `  ( V `  g ) ) ) )
4120, 21, 39, 40syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S P U ) `  ( V `
 g ) )  =  ( ( S `
 ( V `  g ) )  o.  ( U `  ( V `  g )
) ) )
4233, 37, 413eqtr4rd 2455 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S P U ) `  ( V `
 g ) )  =  ( ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) `  g ) )
4326, 42eqtrd 2444 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S P U )  o.  V
) `  g )  =  ( ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) `  g ) )
4443ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  A. g  e.  T  ( ( ( S P U )  o.  V ) `  g
)  =  ( ( ( S  o.  V
) P ( U  o.  V ) ) `
 g ) )
454, 5, 6tendoeq1 31258 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( S P U )  o.  V )  e.  E  /\  ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) )  e.  E )  /\  A. g  e.  T  (
( ( S P U )  o.  V
) `  g )  =  ( ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) `  g ) )  -> 
( ( S P U )  o.  V
)  =  ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) )
461, 12, 18, 44, 45syl121anc 1189 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S P U )  o.  V
)  =  ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    e. cmpt 4234    o. ccom 4849   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    e. cmpt2 6050   HLchlt 29845   LHypclh 30478   LTrncltrn 30595   TEndoctendo 31246
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  31484  erngdvlem3-rN  31492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-map 6987  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-p1 14432  df-lat 14438  df-clat 14500  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-lplanes 29993  df-lvols 29994  df-lines 29995  df-psubsp 29997  df-pmap 29998  df-padd 30290  df-lhyp 30482  df-laut 30483  df-ldil 30598  df-ltrn 30599  df-trl 30653  df-tendo 31249
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