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Theorem tendofset 31569
Description: The set of all trace-preserving endomorphisms on the set of translations for a lattice  K. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
tendofset  |-  ( K  e.  V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
Distinct variable groups:    w, H    w, s, f, g, K
Allowed substitution hints:    H( f, g, s)    .<_ ( w, f, g, s)    V( w, f, g, s)

Proof of Theorem tendofset
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 tendoset.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2346 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( LTrn `  k )  =  ( LTrn `  K
) )
65fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( LTrn `  k ) `  w )  =  ( ( LTrn `  K
) `  w )
)
76, 6feq23d 5402 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
s : ( (
LTrn `  k ) `  w ) --> ( (
LTrn `  k ) `  w )  <->  s :
( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )
) )
86raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) ) )
96, 8raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
) ) )
10 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( trL `  k )  =  ( trL `  K
) )
1110fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( trL `  k
) `  w )  =  ( ( trL `  K ) `  w
) )
1211fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( trL `  k
) `  w ) `  ( s `  f
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) ) )
13 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
14 tendoset.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
1513, 14syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
1611fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( trL `  k
) `  w ) `  f )  =  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) )
1712, 15, 16breq123d 4053 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )  <->  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) )
186, 17raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( ( ( trL `  k
) `  w ) `  ( s `  f
) ) ( le
`  k ) ( ( ( trL `  k
) `  w ) `  f )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) )
197, 9, 183anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
)  <->  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) ) )
2019abbidv 2410 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
) }  =  {
s  |  ( s : ( ( LTrn `  K ) `  w
) --> ( ( LTrn `  K ) `  w
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) } )
214, 20mpteq12dv 4114 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
) } )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
22 df-tendo 31566 . . 3  |-  TEndo  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
) } ) )
23 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
243, 23eqeltri 2366 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2524mptex 5762 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) } )  e. 
_V
2621, 22, 25fvmpt 5618 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
271, 26syl 15 1  |-  ( K  e.  V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271   lecple 13231   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969   TEndoctendo 31563
This theorem is referenced by:  tendoset  31570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-tendo 31566
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