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Theorem tendofset 31555
Description: The set of all trace-preserving endomorphisms on the set of translations for a lattice  K. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
tendofset  |-  ( K  e.  V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
Distinct variable groups:    w, H    w, s, f, g, K
Allowed substitution hints:    H( f, g, s)    .<_ ( w, f, g, s)    V( w, f, g, s)

Proof of Theorem tendofset
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2964 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 tendoset.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2486 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( LTrn `  k )  =  ( LTrn `  K
) )
65fveq1d 5730 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( LTrn `  k ) `  w )  =  ( ( LTrn `  K
) `  w )
)
76, 6feq23d 5588 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
s : ( (
LTrn `  k ) `  w ) --> ( (
LTrn `  k ) `  w )  <->  s :
( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )
) )
86raleqdv 2910 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) ) )
96, 8raleqbidv 2916 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
) ) )
10 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( trL `  k )  =  ( trL `  K
) )
1110fveq1d 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( trL `  k
) `  w )  =  ( ( trL `  K ) `  w
) )
1211fveq1d 5730 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( trL `  k
) `  w ) `  ( s `  f
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) ) )
13 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
14 tendoset.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
1513, 14syl6eqr 2486 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
1611fveq1d 5730 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( trL `  k
) `  w ) `  f )  =  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) )
1712, 15, 16breq123d 4226 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )  <->  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) )
186, 17raleqbidv 2916 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( ( ( trL `  k
) `  w ) `  ( s `  f
) ) ( le
`  k ) ( ( ( trL `  k
) `  w ) `  f )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) )
197, 9, 183anbi123d 1254 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
)  <->  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) ) )
2019abbidv 2550 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
) }  =  {
s  |  ( s : ( ( LTrn `  K ) `  w
) --> ( ( LTrn `  K ) `  w
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) } )
214, 20mpteq12dv 4287 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
) } )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
22 df-tendo 31552 . . 3  |-  TEndo  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
) } ) )
23 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
243, 23eqeltri 2506 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2524mptex 5966 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) } )  e. 
_V
2621, 22, 25fvmpt 5806 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
271, 26syl 16 1  |-  ( K  e.  V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454   lecple 13536   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   trLctrl 30955   TEndoctendo 31549
This theorem is referenced by:  tendoset  31556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-tendo 31552
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