Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoicl Structured version   Unicode version

Theorem tendoicl 31667
 Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h
tendoicl.t
tendoicl.e
tendoicl.i
Assertion
Ref Expression
tendoicl
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem tendoicl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2
2 tendoicl.h . 2
3 tendoicl.t . 2
4 eqid 2438 . 2
5 tendoicl.e . 2
6 simpl 445 . 2
7 simpll 732 . . . . 5
82, 3, 5tendocl 31638 . . . . . 6
983expa 1154 . . . . 5
102, 3ltrncnv 31017 . . . . 5
117, 9, 10syl2anc 644 . . . 4
12 eqid 2438 . . . 4
1311, 12fmptd 5896 . . 3
14 tendoicl.i . . . . . 6
1514, 3tendoi 31665 . . . . 5
1615adantl 454 . . . 4
1716feq1d 5583 . . 3
1813, 17mpbird 225 . 2
19 simp1r 983 . . . 4
202, 3ltrnco 31590 . . . . 5
21203adant1r 1178 . . . 4
2214, 3tendoi2 31666 . . . 4
2319, 21, 22syl2anc 644 . . 3
24 cnvco 5059 . . . 4
252, 3ltrncom 31609 . . . . . . . 8
26253adant1r 1178 . . . . . . 7
2726fveq2d 5735 . . . . . 6
28 simp1ll 1021 . . . . . . 7
29 simp1lr 1022 . . . . . . 7
30 simp3 960 . . . . . . 7
31 simp2 959 . . . . . . 7
322, 3, 5tendovalco 31636 . . . . . . 7
3328, 29, 19, 30, 31, 32syl32anc 1193 . . . . . 6
3427, 33eqtrd 2470 . . . . 5
3534cnveqd 5051 . . . 4
3614, 3tendoi2 31666 . . . . . 6
3719, 31, 36syl2anc 644 . . . . 5
3814, 3tendoi2 31666 . . . . . 6
3919, 30, 38syl2anc 644 . . . . 5
4037, 39coeq12d 5040 . . . 4
4124, 35, 403eqtr4a 2496 . . 3
4223, 41eqtrd 2470 . 2
4336adantll 696 . . . . 5
4443fveq2d 5735 . . . 4
452, 3, 4trlcnv 31036 . . . . 5
467, 9, 45syl2anc 644 . . . 4
4744, 46eqtrd 2470 . . 3
481, 2, 3, 4, 5tendotp 31632 . . . 4
49483expa 1154 . . 3
5047, 49eqbrtrd 4235 . 2
511, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 42, 50istendod 31633 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   class class class wbr 4215   cmpt 4269  ccnv 4880   ccom 4885  wf 5453  cfv 5457  cple 13541  chlt 30222  clh 30855  cltrn 30972  ctrl 31029  ctendo 31623 This theorem is referenced by:  tendoipl  31668  tendoipl2  31669  erngdvlem1  31859  erngdvlem1-rN  31867  dihjatcclem4  32293 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-map 7023  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tendo 31626
 Copyright terms: Public domain W3C validator