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Theorem tendoicl 31282
Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoicl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoicl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendoicl.i  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoicl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
Distinct variable groups:    E, s    f, s, T    f, W, s
Allowed substitution hints:    S( f, s)    E( f)    H( f, s)    I( f, s)    K( f, s)

Proof of Theorem tendoicl
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendoicl.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoicl.t . 2  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2408 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoicl.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simpl 444 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
82, 3, 5tendocl 31253 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( S `  g )  e.  T
)
983expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g )  e.  T )
102, 3ltrncnv 30632 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  `' ( S `  g )  e.  T )
117, 9, 10syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  `' ( S `  g )  e.  T )
12 eqid 2408 . . . 4  |-  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) )
1311, 12fmptd 5856 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) ) : T --> T )
14 tendoicl.i . . . . . 6  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
1514, 3tendoi 31280 . . . . 5  |-  ( S  e.  E  ->  (
I `  S )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `
 g ) ) )
1615adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g
) ) )
1716feq1d 5543 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) : T --> T  <->  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) ) : T --> T ) )
1813, 17mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S ) : T --> T )
19 simp1r 982 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  S  e.  E )
202, 3ltrnco 31205 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T
)  ->  ( g  o.  h )  e.  T
)
21203adant1r 1177 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
g  o.  h )  e.  T )
2214, 3tendoi2 31281 . . . 4  |-  ( ( S  e.  E  /\  ( g  o.  h
)  e.  T )  ->  ( ( I `
 S ) `  ( g  o.  h
) )  =  `' ( S `  ( g  o.  h ) ) )
2319, 21, 22syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  ( g  o.  h ) )  =  `' ( S `  ( g  o.  h
) ) )
24 cnvco 5019 . . . 4  |-  `' ( ( S `  h
)  o.  ( S `
 g ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  `' ( S `
 h ) )
252, 3ltrncom 31224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T
)  ->  ( g  o.  h )  =  ( h  o.  g ) )
26253adant1r 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
g  o.  h )  =  ( h  o.  g ) )
2726fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( S `  (
h  o.  g ) ) )
28 simp1ll 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  K  e.  HL )
29 simp1lr 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  W  e.  H )
30 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  h  e.  T )
31 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  g  e.  T )
322, 3, 5tendovalco 31251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  g  e.  T
) )  ->  ( S `  ( h  o.  g ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3328, 29, 19, 30, 31, 32syl32anc 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( h  o.  g ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3427, 33eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3534cnveqd 5011 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  `' ( S `  ( g  o.  h ) )  =  `' ( ( S `  h )  o.  ( S `  g ) ) )
3614, 3tendoi2 31281 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  g
)  =  `' ( S `  g ) )
3719, 31, 36syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
3814, 3tendoi2 31281 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  E  /\  h  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  h
)  =  `' ( S `  h ) )
3919, 30, 38syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  h )  =  `' ( S `  h ) )
4037, 39coeq12d 5000 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( ( I `  S ) `
 h ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  `' ( S `
 h ) ) )
4124, 35, 403eqtr4a 2466 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  `' ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( ( I `  S ) `
 g )  o.  ( ( I `  S ) `  h
) ) )
4223, 41eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( ( I `
 S ) `  g )  o.  (
( I `  S
) `  h )
) )
4336adantll 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
4443fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) ) )
452, 3, 4trlcnv 30651 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) )  =  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  g ) ) )
467, 9, 45syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) )  =  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  g ) ) )
4744, 46eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) )
481, 2, 3, 4, 5tendotp 31247 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
49483expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
5047, 49eqbrtrd 4196 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
511, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 42, 50istendod 31248 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   `'ccnv 4840    o. ccom 4845   -->wf 5413   ` cfv 5417   lecple 13495   HLchlt 29837   LHypclh 30470   LTrncltrn 30587   trLctrl 30644   TEndoctendo 31238
This theorem is referenced by:  tendoipl  31283  tendoipl2  31284  erngdvlem1  31474  erngdvlem1-rN  31482  dihjatcclem4  31908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-map 6983  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645  df-tendo 31241
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