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Theorem tendoicl 31667
Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoicl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoicl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendoicl.i  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoicl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
Distinct variable groups:    E, s    f, s, T    f, W, s
Allowed substitution hints:    S( f, s)    E( f)    H( f, s)    I( f, s)    K( f, s)

Proof of Theorem tendoicl
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendoicl.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoicl.t . 2  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2438 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoicl.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simpl 445 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
82, 3, 5tendocl 31638 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( S `  g )  e.  T
)
983expa 1154 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g )  e.  T )
102, 3ltrncnv 31017 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  `' ( S `  g )  e.  T )
117, 9, 10syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  `' ( S `  g )  e.  T )
12 eqid 2438 . . . 4  |-  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) )
1311, 12fmptd 5896 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) ) : T --> T )
14 tendoicl.i . . . . . 6  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
1514, 3tendoi 31665 . . . . 5  |-  ( S  e.  E  ->  (
I `  S )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `
 g ) ) )
1615adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g
) ) )
1716feq1d 5583 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) : T --> T  <->  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) ) : T --> T ) )
1813, 17mpbird 225 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S ) : T --> T )
19 simp1r 983 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  S  e.  E )
202, 3ltrnco 31590 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T
)  ->  ( g  o.  h )  e.  T
)
21203adant1r 1178 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
g  o.  h )  e.  T )
2214, 3tendoi2 31666 . . . 4  |-  ( ( S  e.  E  /\  ( g  o.  h
)  e.  T )  ->  ( ( I `
 S ) `  ( g  o.  h
) )  =  `' ( S `  ( g  o.  h ) ) )
2319, 21, 22syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  ( g  o.  h ) )  =  `' ( S `  ( g  o.  h
) ) )
24 cnvco 5059 . . . 4  |-  `' ( ( S `  h
)  o.  ( S `
 g ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  `' ( S `
 h ) )
252, 3ltrncom 31609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T
)  ->  ( g  o.  h )  =  ( h  o.  g ) )
26253adant1r 1178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
g  o.  h )  =  ( h  o.  g ) )
2726fveq2d 5735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( S `  (
h  o.  g ) ) )
28 simp1ll 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  K  e.  HL )
29 simp1lr 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  W  e.  H )
30 simp3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  h  e.  T )
31 simp2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  g  e.  T )
322, 3, 5tendovalco 31636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  g  e.  T
) )  ->  ( S `  ( h  o.  g ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3328, 29, 19, 30, 31, 32syl32anc 1193 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( h  o.  g ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3427, 33eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3534cnveqd 5051 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  `' ( S `  ( g  o.  h ) )  =  `' ( ( S `  h )  o.  ( S `  g ) ) )
3614, 3tendoi2 31666 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  g
)  =  `' ( S `  g ) )
3719, 31, 36syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
3814, 3tendoi2 31666 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  E  /\  h  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  h
)  =  `' ( S `  h ) )
3919, 30, 38syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  h )  =  `' ( S `  h ) )
4037, 39coeq12d 5040 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( ( I `  S ) `
 h ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  `' ( S `
 h ) ) )
4124, 35, 403eqtr4a 2496 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  `' ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( ( I `  S ) `
 g )  o.  ( ( I `  S ) `  h
) ) )
4223, 41eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( ( I `
 S ) `  g )  o.  (
( I `  S
) `  h )
) )
4336adantll 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
4443fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) ) )
452, 3, 4trlcnv 31036 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) )  =  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  g ) ) )
467, 9, 45syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) )  =  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  g ) ) )
4744, 46eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) )
481, 2, 3, 4, 5tendotp 31632 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
49483expa 1154 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
5047, 49eqbrtrd 4235 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
511, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 42, 50istendod 31633 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880    o. ccom 4885   -->wf 5453   ` cfv 5457   lecple 13541   HLchlt 30222   LHypclh 30855   LTrncltrn 30972   trLctrl 31029   TEndoctendo 31623
This theorem is referenced by:  tendoipl  31668  tendoipl2  31669  erngdvlem1  31859  erngdvlem1-rN  31867  dihjatcclem4  32293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-map 7023  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tendo 31626
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