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Theorem tendoicl 30985
Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoicl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoicl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendoicl.i  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoicl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
Distinct variable groups:    E, s    f, s, T    f, W, s
Allowed substitution hints:    S( f, s)    E( f)    H( f, s)    I( f, s)    K( f, s)

Proof of Theorem tendoicl
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendoicl.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoicl.t . 2  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2283 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoicl.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simpl 443 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
82, 3, 5tendocl 30956 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( S `  g )  e.  T
)
983expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g )  e.  T )
102, 3ltrncnv 30335 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  `' ( S `  g )  e.  T )
117, 9, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  `' ( S `  g )  e.  T )
12 eqid 2283 . . . 4  |-  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) )
1311, 12fmptd 5684 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) ) : T --> T )
14 tendoicl.i . . . . . 6  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
1514, 3tendoi 30983 . . . . 5  |-  ( S  e.  E  ->  (
I `  S )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `
 g ) ) )
1615adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  =  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g
) ) )
1716feq1d 5379 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) : T --> T  <->  ( g  e.  T  |->  `' ( S `  g ) ) : T --> T ) )
1813, 17mpbird 223 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S ) : T --> T )
19 simp1r 980 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  S  e.  E )
202, 3ltrnco 30908 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T
)  ->  ( g  o.  h )  e.  T
)
21203adant1r 1175 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
g  o.  h )  e.  T )
2214, 3tendoi2 30984 . . . 4  |-  ( ( S  e.  E  /\  ( g  o.  h
)  e.  T )  ->  ( ( I `
 S ) `  ( g  o.  h
) )  =  `' ( S `  ( g  o.  h ) ) )
2319, 21, 22syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  ( g  o.  h ) )  =  `' ( S `  ( g  o.  h
) ) )
24 cnvco 4865 . . . 4  |-  `' ( ( S `  h
)  o.  ( S `
 g ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  `' ( S `
 h ) )
252, 3ltrncom 30927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T
)  ->  ( g  o.  h )  =  ( h  o.  g ) )
26253adant1r 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
g  o.  h )  =  ( h  o.  g ) )
2726fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( S `  (
h  o.  g ) ) )
28 simp1ll 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  K  e.  HL )
29 simp1lr 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  W  e.  H )
30 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  h  e.  T )
31 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  g  e.  T )
322, 3, 5tendovalco 30954 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  S  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  g  e.  T
) )  ->  ( S `  ( h  o.  g ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3328, 29, 19, 30, 31, 32syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( h  o.  g ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3427, 33eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( S `  h )  o.  ( S `  g )
) )
3534cnveqd 4857 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  `' ( S `  ( g  o.  h ) )  =  `' ( ( S `  h )  o.  ( S `  g ) ) )
3614, 3tendoi2 30984 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  g
)  =  `' ( S `  g ) )
3719, 31, 36syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
3814, 3tendoi2 30984 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  E  /\  h  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  h
)  =  `' ( S `  h ) )
3919, 30, 38syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  h )  =  `' ( S `  h ) )
4037, 39coeq12d 4848 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( ( I `  S ) `
 h ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  `' ( S `
 h ) ) )
4124, 35, 403eqtr4a 2341 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  `' ( S `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( ( I `  S ) `
 g )  o.  ( ( I `  S ) `  h
) ) )
4223, 41eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T  /\  h  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  ( g  o.  h ) )  =  ( ( ( I `
 S ) `  g )  o.  (
( I `  S
) `  h )
) )
4336adantll 694 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
4443fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) ) )
452, 3, 4trlcnv 30354 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) )  =  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  g ) ) )
467, 9, 45syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  `' ( S `  g ) )  =  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( S `  g ) ) )
4744, 46eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) )
481, 2, 3, 4, 5tendotp 30950 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
49483expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( S `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
5047, 49eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( I `  S ) `  g
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  g ) )
511, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 42, 50istendod 30951 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255   lecple 13215   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347   TEndoctendo 30941
This theorem is referenced by:  tendoipl  30986  tendoipl2  30987  erngdvlem1  31177  erngdvlem1-rN  31185  dihjatcclem4  31611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944
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