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Theorem tendoipl 31608
Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoicl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoicl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendoicl.i  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
tendoi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendoi.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
tendoi.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
tendoipl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  =  O )
Distinct variable groups:    E, s    f, s, T    f, W, s    B, f    t, E   
f, H    f, K    t, f, s, T    t, W
Allowed substitution hints:    B( t, s)    P( t, f, s)    S( t, f, s)    E( f)    H( t, s)    I( t, f, s)    K( t, s)    O( t, f, s)

Proof of Theorem tendoipl
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 tendoicl.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoicl.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendoicl.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
5 tendoicl.i . . . 4  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
62, 3, 4, 5tendoicl 31607 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
7 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  S  e.  E )
8 tendoi.p . . . 4  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
92, 3, 4, 8tendoplcl 31592 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  S )  e.  E  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  e.  E
)
101, 6, 7, 9syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  e.  E
)
11 tendoi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 tendoi.o . . . 4  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
1311, 2, 3, 4, 12tendo0cl 31601 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
1413adantr 451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  O  e.  E )
155, 3tendoi2 31606 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  g
)  =  `' ( S `  g ) )
1615adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
1716coeq1d 4861 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( S `
 g ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g ) ) )
18 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
192, 3, 4tendocl 31578 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( S `  g )  e.  T
)
20193expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g )  e.  T )
2111, 2, 3ltrn1o 30935 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B
)
2218, 20, 21syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B )
23 f1ococnv1 5518 . . . . . 6  |-  ( ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g ) )  =  (  _I  |`  B ) )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g )
)  =  (  _I  |`  B ) )
2517, 24eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( S `
 g ) )  =  (  _I  |`  B ) )
266adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
I `  S )  e.  E )
27 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  S  e.  E )
28 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
298, 3tendopl2 31588 . . . . 5  |-  ( ( ( I `  S
)  e.  E  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( ( I `
 S ) P S ) `  g
)  =  ( ( ( I `  S
) `  g )  o.  ( S `  g
) ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( ( ( I `  S ) `
 g )  o.  ( S `  g
) ) )
3112, 11tendo02 31598 . . . . 5  |-  ( g  e.  T  ->  ( O `  g )  =  (  _I  |`  B ) )
3231adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( O `  g )  =  (  _I  |`  B ) )
3325, 30, 323eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( O `  g ) )
3433ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  A. g  e.  T  ( (
( I `  S
) P S ) `
 g )  =  ( O `  g
) )
352, 3, 4tendoeq1 31575 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( I `  S ) P S )  e.  E  /\  O  e.  E )  /\  A. g  e.  T  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( O `  g ) )  -> 
( ( I `  S ) P S )  =  O )
361, 10, 14, 34, 35syl121anc 1187 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  =  O )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    e. cmpt 4093    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Basecbs 13164   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   TEndoctendo 31563
This theorem is referenced by:  tendoipl2  31609  erngdvlem1  31799  erngdvlem1-rN  31807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566
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