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Theorem tendoipl 30962
Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoicl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoicl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendoicl.i  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
tendoi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendoi.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
tendoi.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
tendoipl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  =  O )
Distinct variable groups:    E, s    f, s, T    f, W, s    B, f    t, E   
f, H    f, K    t, f, s, T    t, W
Allowed substitution hints:    B( t, s)    P( t, f, s)    S( t, f, s)    E( f)    H( t, s)    I( t, f, s)    K( t, s)    O( t, f, s)

Proof of Theorem tendoipl
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 tendoicl.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoicl.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendoicl.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
5 tendoicl.i . . . 4  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
62, 3, 4, 5tendoicl 30961 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
7 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  S  e.  E )
8 tendoi.p . . . 4  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
92, 3, 4, 8tendoplcl 30946 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  S )  e.  E  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  e.  E
)
101, 6, 7, 9syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  e.  E
)
11 tendoi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 tendoi.o . . . 4  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
1311, 2, 3, 4, 12tendo0cl 30955 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
1413adantr 452 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  O  e.  E )
155, 3tendoi2 30960 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  g
)  =  `' ( S `  g ) )
1615adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
1716coeq1d 4967 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( S `
 g ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g ) ) )
18 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
192, 3, 4tendocl 30932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( S `  g )  e.  T
)
20193expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g )  e.  T )
2111, 2, 3ltrn1o 30289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B
)
2218, 20, 21syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B )
23 f1ococnv1 5637 . . . . . 6  |-  ( ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g ) )  =  (  _I  |`  B ) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g )
)  =  (  _I  |`  B ) )
2517, 24eqtrd 2412 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( S `
 g ) )  =  (  _I  |`  B ) )
266adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
I `  S )  e.  E )
27 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  S  e.  E )
28 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
298, 3tendopl2 30942 . . . . 5  |-  ( ( ( I `  S
)  e.  E  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( ( I `
 S ) P S ) `  g
)  =  ( ( ( I `  S
) `  g )  o.  ( S `  g
) ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( ( ( I `  S ) `
 g )  o.  ( S `  g
) ) )
3112, 11tendo02 30952 . . . . 5  |-  ( g  e.  T  ->  ( O `  g )  =  (  _I  |`  B ) )
3231adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( O `  g )  =  (  _I  |`  B ) )
3325, 30, 323eqtr4d 2422 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( O `  g ) )
3433ralrimiva 2725 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  A. g  e.  T  ( (
( I `  S
) P S ) `
 g )  =  ( O `  g
) )
352, 3, 4tendoeq1 30929 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( I `  S ) P S )  e.  E  /\  O  e.  E )  /\  A. g  e.  T  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( O `  g ) )  -> 
( ( I `  S ) P S )  =  O )
361, 10, 14, 34, 35syl121anc 1189 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  =  O )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642    e. cmpt 4200    _I cid 4427   `'ccnv 4810    |` cres 4813    o. ccom 4815   -1-1-onto->wf1o 5386   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    e. cmpt2 6015   Basecbs 13389   HLchlt 29516   LHypclh 30149   LTrncltrn 30266   TEndoctendo 30917
This theorem is referenced by:  tendoipl2  30963  erngdvlem1  31153  erngdvlem1-rN  31161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-map 6949  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665  df-lines 29666  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153  df-laut 30154  df-ldil 30269  df-ltrn 30270  df-trl 30324  df-tendo 30920
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