Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoipl Structured version   Unicode version

Theorem tendoipl 31521
 Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h
tendoicl.t
tendoicl.e
tendoicl.i
tendoi.b
tendoi.p
tendoi.o
Assertion
Ref Expression
tendoipl
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)   ()   (,)   (,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem tendoipl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2
2 tendoicl.h . . . 4
3 tendoicl.t . . . 4
4 tendoicl.e . . . 4
5 tendoicl.i . . . 4
62, 3, 4, 5tendoicl 31520 . . 3
7 simpr 448 . . 3
8 tendoi.p . . . 4
92, 3, 4, 8tendoplcl 31505 . . 3
101, 6, 7, 9syl3anc 1184 . 2
11 tendoi.b . . . 4
12 tendoi.o . . . 4
1311, 2, 3, 4, 12tendo0cl 31514 . . 3
155, 3tendoi2 31519 . . . . . . 7
1615adantll 695 . . . . . 6
1716coeq1d 5026 . . . . 5
18 simpll 731 . . . . . . 7
192, 3, 4tendocl 31491 . . . . . . . 8
20193expa 1153 . . . . . . 7
2111, 2, 3ltrn1o 30848 . . . . . . 7
2218, 20, 21syl2anc 643 . . . . . 6
23 f1ococnv1 5696 . . . . . 6
2422, 23syl 16 . . . . 5
2517, 24eqtrd 2467 . . . 4
266adantr 452 . . . . 5
27 simplr 732 . . . . 5
28 simpr 448 . . . . 5
298, 3tendopl2 31501 . . . . 5
3026, 27, 28, 29syl3anc 1184 . . . 4
3112, 11tendo02 31511 . . . . 5
3231adantl 453 . . . 4
3325, 30, 323eqtr4d 2477 . . 3
3433ralrimiva 2781 . 2
352, 3, 4tendoeq1 31488 . 2
361, 10, 14, 34, 35syl121anc 1189 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   cmpt 4258   cid 4485  ccnv 4869   cres 4872   ccom 4874  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cbs 13461  chlt 30075  clh 30708  cltrn 30825  ctendo 31476 This theorem is referenced by:  tendoipl2  31522  erngdvlem1  31712  erngdvlem1-rN  31720 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-map 7012  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29901  df-ol 29903  df-oml 29904  df-covers 29991  df-ats 29992  df-atl 30023  df-cvlat 30047  df-hlat 30076  df-llines 30222  df-lplanes 30223  df-lvols 30224  df-lines 30225  df-psubsp 30227  df-pmap 30228  df-padd 30520  df-lhyp 30712  df-laut 30713  df-ldil 30828  df-ltrn 30829  df-trl 30883  df-tendo 31479
 Copyright terms: Public domain W3C validator