Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoipl2 Structured version   Unicode version

Theorem tendoipl2 31657
Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoicl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoicl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendoicl.i  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
tendoi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendoi.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
tendoi.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
tendoipl2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( S P ( I `  S ) )  =  O )
Distinct variable groups:    E, s    f, s, T    f, W, s    B, f    t, E   
f, H    f, K    t, f, s, T    t, W
Allowed substitution hints:    B( t, s)    P( t, f, s)    S( t, f, s)    E( f)    H( t, s)    I( t, f, s)    K( t, s)    O( t, f, s)

Proof of Theorem tendoipl2
StepHypRef Expression
1 tendoicl.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tendoicl.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tendoicl.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 tendoicl.i . . . 4  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
51, 2, 3, 4tendoicl 31655 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
6 tendoi.p . . . 4  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
71, 2, 3, 6tendoplcom 31641 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( I `  S
)  e.  E )  ->  ( S P ( I `  S
) )  =  ( ( I `  S
) P S ) )
85, 7mpd3an3 1281 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( S P ( I `  S ) )  =  ( ( I `  S ) P S ) )
9 tendoi.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
10 tendoi.o . . 3  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
111, 2, 3, 4, 9, 6, 10tendoipl 31656 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  =  O )
128, 11eqtrd 2470 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( S P ( I `  S ) )  =  O )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    e. cmpt 4268    _I cid 4495   `'ccnv 4879    |` cres 4882    o. ccom 4884   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   Basecbs 13471   HLchlt 30210   LHypclh 30843   LTrncltrn 30960   TEndoctendo 31611
This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  32281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-map 7022  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964  df-trl 31018  df-tendo 31614
  Copyright terms: Public domain W3C validator