Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendolinv Structured version   Unicode version

Theorem tendolinv 31903
Description: Left multiplicative inverse for endomorphism. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoinv.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendoinv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoinv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoinv.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendoinv.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
tendoinv.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
tendoinv.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
tendoinv.n  |-  N  =  ( invr `  F
)
Assertion
Ref Expression
tendolinv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( ( N `  S )  o.  S )  =  (  _I  |`  T )
)
Distinct variable groups:    B, h    h, H    h, K    T, h    h, W
Allowed substitution hints:    S( h)    U( h)    E( h)    F( h)    N( h)    O( h)

Proof of Theorem tendolinv
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 tendoinv.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
4 tendoinv.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 tendoinv.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  U )
62, 3, 4, 5dvhsca 31880 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  F  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
)
82, 3erngdv 31790 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( EDRing `  K
) `  W )  e.  DivRing )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( ( EDRing `
 K ) `  W )  e.  DivRing )
107, 9eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  F  e.  DivRing )
11 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  S  e.  E )
12 tendoinv.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
13 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
142, 12, 4, 5, 13dvhbase 31881 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  F
)  =  E )
151, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( Base `  F )  =  E )
1611, 15eleqtrrd 2513 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  S  e.  ( Base `  F )
)
17 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  S  =/=  O )
186fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  F
)  =  ( 0g
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) ) )
19 tendoinv.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
20 tendoinv.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
21 tendoinv.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
22 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) )  =  ( 0g `  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
2319, 2, 20, 3, 21, 22erng0g 31791 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  (
( EDRing `  K ) `  W ) )  =  O )
2418, 23eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  F
)  =  O )
251, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( 0g `  F )  =  O )
2617, 25neeqtrrd 2625 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  S  =/=  ( 0g `  F ) )
27 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
28 eqid 2436 . . . 4  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
29 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
30 tendoinv.n . . . 4  |-  N  =  ( invr `  F
)
3113, 27, 28, 29, 30drnginvrl 15854 . . 3  |-  ( ( F  e.  DivRing  /\  S  e.  ( Base `  F
)  /\  S  =/=  ( 0g `  F ) )  ->  ( ( N `  S )
( .r `  F
) S )  =  ( 1r `  F
) )
3210, 16, 26, 31syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( ( N `  S )
( .r `  F
) S )  =  ( 1r `  F
) )
3319, 2, 20, 12, 21, 4, 5, 30tendoinvcl 31902 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( ( N `  S )  e.  E  /\  ( N `  S )  =/=  O ) )
3433simpld 446 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( N `  S )  e.  E
)
352, 20, 12, 4, 5, 28dvhmulr 31884 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( N `
 S )  e.  E  /\  S  e.  E ) )  -> 
( ( N `  S ) ( .r
`  F ) S )  =  ( ( N `  S )  o.  S ) )
361, 34, 11, 35syl12anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( ( N `  S )
( .r `  F
) S )  =  ( ( N `  S )  o.  S
) )
376fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  F
)  =  ( 1r
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) ) )
38 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 1r
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) )  =  ( 1r `  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
392, 20, 3, 38erng1r 31792 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  (
( EDRing `  K ) `  W ) )  =  (  _I  |`  T ) )
4037, 39eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  F
)  =  (  _I  |`  T ) )
411, 40syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( 1r `  F )  =  (  _I  |`  T )
)
4232, 36, 413eqtr3d 2476 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  ( ( N `  S )  o.  S )  =  (  _I  |`  T )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    e. cmpt 4266    _I cid 4493    |` cres 4880    o. ccom 4882   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   0gc0g 13723   1rcur 15662   invrcinvr 15776   DivRingcdr 15835   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   TEndoctendo 31549   EDRingcedring 31550   DVecHcdvh 31876
This theorem is referenced by:  dih1dimatlem0  32126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-undef 6543  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tendo 31552  df-edring 31554  df-dvech 31877
  Copyright terms: Public domain W3C validator