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Theorem tendoplcl 31592
Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoplcl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendoplcl
Dummy variables  g  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendopl.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendopl.t . 2  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2296 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendopl.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simp1 955 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  U  e.  E )
9 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
102, 3, 5tendocl 31578 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( U `  g )  e.  T
)
117, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( U `  g )  e.  T )
12 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  V  e.  E )
132, 3, 5tendocl 31578 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( V `  g )  e.  T
)
147, 12, 9, 13syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( V `  g )  e.  T )
152, 3ltrnco 31530 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  g )  e.  T  /\  ( V `  g
)  e.  T )  ->  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) )  e.  T
)
167, 11, 14, 15syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) )  e.  T )
17 eqid 2296 . . . 4  |-  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) ) )
1816, 17fmptd 5700 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) : T --> T )
19 tendopl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
2019, 3tendopl 31587 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  ->  ( U P V )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) )
21203adant1 973 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) ) ) )
2221feq1d 5395 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( ( U P V ) : T --> T  <->  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) : T --> T ) )
2318, 22mpbird 223 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V ) : T --> T )
24 simp11 985 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simp12 986 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  U  e.  E )
26 simp13 987 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  V  e.  E )
27 3simpc 954 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  (
h  e.  T  /\  i  e.  T )
)
282, 3, 5, 19tendoplco2 31590 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  i  e.  T )
)  ->  ( ( U P V ) `  ( h  o.  i
) )  =  ( ( ( U P V ) `  h
)  o.  ( ( U P V ) `
 i ) ) )
2924, 25, 26, 27, 28syl121anc 1187 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  ( h  o.  i ) )  =  ( ( ( U P V ) `
 h )  o.  ( ( U P V ) `  i
) ) )
30 simpl1 958 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31 simpl2 959 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  U  e.  E )
32 simpl3 960 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  V  e.  E )
33 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  h  e.  T )
342, 3, 5, 19, 1, 4tendopltp 31591 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( U P V ) `  h
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  h ) )
3530, 31, 32, 33, 34syl121anc 1187 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( U P V ) `  h
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  h ) )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 29, 35istendod 31573 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   lecple 13231   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969   TEndoctendo 31563
This theorem is referenced by:  tendoplcom  31593  tendoplass  31594  tendodi1  31595  tendodi2  31596  tendo0pl  31602  tendoipl  31608  erngdvlem1  31799  erngdvlem3  31801  erngdvlem1-rN  31807  erngdvlem3-rN  31809  dvalveclem  31837  dvhvaddcl  31907  dicvaddcl  32002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566
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