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Theorem tendoplcl 31640
Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoplcl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendoplcl
Dummy variables  g  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendopl.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendopl.t . 2  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2438 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendopl.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simp1 958 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simpl1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simpl2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  U  e.  E )
9 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
102, 3, 5tendocl 31626 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( U `  g )  e.  T
)
117, 8, 9, 10syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( U `  g )  e.  T )
12 simpl3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  V  e.  E )
132, 3, 5tendocl 31626 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( V `  g )  e.  T
)
147, 12, 9, 13syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( V `  g )  e.  T )
152, 3ltrnco 31578 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  g )  e.  T  /\  ( V `  g
)  e.  T )  ->  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) )  e.  T
)
167, 11, 14, 15syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) )  e.  T )
17 eqid 2438 . . . 4  |-  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) ) )
1816, 17fmptd 5895 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) : T --> T )
19 tendopl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
2019, 3tendopl 31635 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  ->  ( U P V )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) )
21203adant1 976 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) ) ) )
2221feq1d 5582 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( ( U P V ) : T --> T  <->  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) : T --> T ) )
2318, 22mpbird 225 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V ) : T --> T )
24 simp11 988 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simp12 989 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  U  e.  E )
26 simp13 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  V  e.  E )
27 3simpc 957 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  (
h  e.  T  /\  i  e.  T )
)
282, 3, 5, 19tendoplco2 31638 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  i  e.  T )
)  ->  ( ( U P V ) `  ( h  o.  i
) )  =  ( ( ( U P V ) `  h
)  o.  ( ( U P V ) `
 i ) ) )
2924, 25, 26, 27, 28syl121anc 1190 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  ( h  o.  i ) )  =  ( ( ( U P V ) `
 h )  o.  ( ( U P V ) `  i
) ) )
30 simpl1 961 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31 simpl2 962 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  U  e.  E )
32 simpl3 963 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  V  e.  E )
33 simpr 449 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  h  e.  T )
342, 3, 5, 19, 1, 4tendopltp 31639 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( U P V ) `  h
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  h ) )
3530, 31, 32, 33, 34syl121anc 1190 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( U P V ) `  h
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  h ) )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 29, 35istendod 31621 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   lecple 13538   HLchlt 30210   LHypclh 30843   LTrncltrn 30960   trLctrl 31017   TEndoctendo 31611
This theorem is referenced by:  tendoplcom  31641  tendoplass  31642  tendodi1  31643  tendodi2  31644  tendo0pl  31650  tendoipl  31656  erngdvlem1  31847  erngdvlem3  31849  erngdvlem1-rN  31855  erngdvlem3-rN  31857  dvalveclem  31885  dvhvaddcl  31955  dicvaddcl  32050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-map 7022  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964  df-trl 31018  df-tendo 31614
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