Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoplco2 Unicode version

Theorem tendoplco2 31590
Description: Value of result of endomorphism sum operation on a translation composition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoplco2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U P V ) `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( ( U P V ) `  F
)  o.  ( ( U P V ) `
 G ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t   
f, G
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    F( t, f, s)    G( t, s)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendoplco2
StepHypRef Expression
1 tendopl.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tendopl.t . . 3  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tendopl.e . . 3  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
41, 2, 3tendoco2 31579 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U `  ( F  o.  G ) )  o.  ( V `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( ( U `  F )  o.  ( V `  F )
)  o.  ( ( U `  G )  o.  ( V `  G ) ) ) )
5 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 simp3l 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  F  e.  T )
7 simp3r 984 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  G  e.  T )
81, 2ltrnco 31530 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
95, 6, 7, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
10 simp2l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  o.  G )  e.  T )  ->  U  e.  E )
11 simp2r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  o.  G )  e.  T )  ->  V  e.  E )
12 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  o.  G )  e.  T )  ->  ( F  o.  G )  e.  T )
13 tendopl.p . . . . 5  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
1413, 2tendopl2 31588 . . . 4  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  ( F  o.  G
)  e.  T )  ->  ( ( U P V ) `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( U `  ( F  o.  G )
)  o.  ( V `
 ( F  o.  G ) ) ) )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  o.  G )  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  ( F  o.  G ) )  =  ( ( U `
 ( F  o.  G ) )  o.  ( V `  ( F  o.  G )
) ) )
169, 15syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U P V ) `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( U `  ( F  o.  G )
)  o.  ( V `
 ( F  o.  G ) ) ) )
17 simp2l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  U  e.  E )
18 simp2r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  V  e.  E )
1913, 2tendopl2 31588 . . . 4  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T )  ->  ( ( U P V ) `  F
)  =  ( ( U `  F )  o.  ( V `  F ) ) )
2017, 18, 6, 19syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U P V ) `  F )  =  ( ( U `  F
)  o.  ( V `
 F ) ) )
2113, 2tendopl2 31588 . . . 4  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  G  e.  T )  ->  ( ( U P V ) `  G
)  =  ( ( U `  G )  o.  ( V `  G ) ) )
2217, 18, 7, 21syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U P V ) `  G )  =  ( ( U `  G
)  o.  ( V `
 G ) ) )
2320, 22coeq12d 4864 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( (
( U P V ) `  F )  o.  ( ( U P V ) `  G ) )  =  ( ( ( U `
 F )  o.  ( V `  F
) )  o.  (
( U `  G
)  o.  ( V `
 G ) ) ) )
244, 16, 233eqtr4d 2338 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( U P V ) `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( ( U P V ) `  F
)  o.  ( ( U P V ) `
 G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    e. cmpt 4093    o. ccom 4709   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   TEndoctendo 31563
This theorem is referenced by:  tendoplcl  31592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566
  Copyright terms: Public domain W3C validator