Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoplcom Structured version   Unicode version

Theorem tendoplcom 31652
 Description: The endomorphism sum operation is commutative. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h
tendopl.t
tendopl.e
tendopl.p
Assertion
Ref Expression
tendoplcom
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   ()   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem tendoplcom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . 2
2 tendopl.h . . 3
3 tendopl.t . . 3
4 tendopl.e . . 3
5 tendopl.p . . 3
62, 3, 4, 5tendoplcl 31651 . 2
72, 3, 4, 5tendoplcl 31651 . . 3
873com23 1160 . 2
9 simpl1 961 . . . . 5
10 simpl2 962 . . . . . 6
11 simpr 449 . . . . . 6
122, 3, 4tendocl 31637 . . . . . 6
139, 10, 11, 12syl3anc 1185 . . . . 5
14 simpl3 963 . . . . . 6
152, 3, 4tendocl 31637 . . . . . 6
169, 14, 11, 15syl3anc 1185 . . . . 5
172, 3ltrncom 31608 . . . . 5
189, 13, 16, 17syl3anc 1185 . . . 4
195, 3tendopl2 31647 . . . . 5
2010, 14, 11, 19syl3anc 1185 . . . 4
215, 3tendopl2 31647 . . . . 5
2214, 10, 11, 21syl3anc 1185 . . . 4
2318, 20, 223eqtr4d 2480 . . 3
2423ralrimiva 2791 . 2
252, 3, 4tendoeq1 31634 . 2
261, 6, 8, 24, 25syl121anc 1190 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   cmpt 4269   ccom 4885  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  chlt 30221  clh 30854  cltrn 30971  ctendo 31622 This theorem is referenced by:  tendo0plr  31662  tendoipl2  31668  erngdvlem2N  31859  erngdvlem2-rN  31867  dvhvaddcomN  31967 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-map 7023  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30047  df-ol 30049  df-oml 30050  df-covers 30137  df-ats 30138  df-atl 30169  df-cvlat 30193  df-hlat 30222  df-llines 30368  df-lplanes 30369  df-lvols 30370  df-lines 30371  df-psubsp 30373  df-pmap 30374  df-padd 30666  df-lhyp 30858  df-laut 30859  df-ldil 30974  df-ltrn 30975  df-trl 31029  df-tendo 31625
 Copyright terms: Public domain W3C validator