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Theorem tendoset 30948
Description: The set of trace-preserving endomorphisms on the set of translations for a fiducial co-atom  W. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoset.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendoset  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  E  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
Distinct variable groups:    f, s,
g, K    T, f,
g, s    W, s,
f, g
Allowed substitution hints:    R( f, g, s)    E( f, g, s)    H( f, g, s)    .<_ ( f, g, s)    V( f, g, s)

Proof of Theorem tendoset
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoset.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
2 tendoset.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 tendoset.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3tendofset 30947 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
54fveq1d 5527 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  (
( TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) `  W ) )
6 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( LTrn `  K ) `  w )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
76, 6feq23d 5386 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  <->  s :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
) )
86raleqdv 2742 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) ) )
96, 8raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
) ) )
10 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (
( trL `  K
) `  w )  =  ( ( trL `  K ) `  W
) )
11 tendoset.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1210, 11syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  (
( trL `  K
) `  w )  =  R )
1312fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  =  ( R `  ( s `
 f ) ) )
1412fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( trL `  K
) `  w ) `  f )  =  ( R `  f ) )
1513, 14breq12d 4036 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )  <->  ( R `  ( s `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
) ) )
166, 15raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) )
177, 9, 163anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
)  <->  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) ) )
1817abbidv 2397 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) }  =  {
s  |  ( s : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) } )
19 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) } )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } )
20 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
2120, 20mapval 6784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  ^m  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  =  { s  |  s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W ) }
22 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  ^m  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  e.  _V
2321, 22eqeltrri 2354 . . . . . 6  |-  { s  |  s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W ) }  e.  _V
24 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( s : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( R `
 ( s `  f ) )  .<_  ( R `  f ) )  ->  s :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2524ss2abi 3245 . . . . . 6  |-  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) } 
C_  { s  |  s : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W ) }
2623, 25ssexi 4159 . . . . 5  |-  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) }  e.  _V
2718, 19, 26fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) `  W )  =  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) } )
28 tendoset.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
2928, 28feq23i 5385 . . . . . 6  |-  ( s : T --> T  <->  s :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3028raleqi 2740 . . . . . . 7  |-  ( A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  T  ( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) )
3128raleqi 2740 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) )
3231ralbii 2567 . . . . . . 7  |-  ( A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  <->  A. f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) )
3330, 32bitri 240 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
) )
3428raleqi 2740 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f ) )  .<_  ( R `  f )  <->  A. f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( R `
 ( s `  f ) )  .<_  ( R `  f ) )
3529, 33, 343anbi123i 1140 . . . . 5  |-  ( ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  <-> 
( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) )
3635abbii 2395 . . . 4  |-  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) }  =  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) }
3727, 36syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) `  W )  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
385, 37sylan9eq 2335 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( ( TEndo `  K
) `  W )  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
391, 38syl5eq 2327 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  E  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   lecple 13215   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347   TEndoctendo 30941
This theorem is referenced by:  istendo  30949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-tendo 30944
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