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Theorem tendospcanN 31758
Description: Cancellation law for trace-perserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendospcan.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendospcan.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendospcan.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendospcan.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
tendospcanN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  <->  F  =  G ) )
Distinct variable groups:    B, f    T, f
Allowed substitution hints:    S( f)    E( f)    F( f)    G( f)    H( f)    K( f)    O( f)    W( f)

Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
41, 2, 3tendocnv 31756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  `' ( S `  G )  =  ( S `  `' G ) )
543adant3l 1180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  `' ( S `  G )  =  ( S `  `' G ) )
65coeq2d 5027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( S `  F
)  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' G ) ) )
7 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  S  e.  E )
9 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  F  e.  T )
10 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  G  e.  T )
111, 2ltrncnv 30880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
127, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  `' G  e.  T )
131, 2, 3tendospdi1 31755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T ) )  -> 
( S `  ( F  o.  `' G
) )  =  ( ( S `  F
)  o.  ( S `
 `' G ) ) )
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( S `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' G
) ) )
156, 14eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( S `  F
)  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( S `
 ( F  o.  `' G ) ) )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( S `  ( F  o.  `' G
) ) )
1716eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  ( F  o.  `' G
) )  =  (  _I  |`  B )
) )
18 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
19 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  S  e.  E
)
20 simpl3l 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  F  e.  T
)
211, 2, 3tendocl 31501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F )  e.  T
)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( S `  F )  e.  T
)
23 simpl3r 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  G  e.  T
)
241, 2, 3tendocl 31501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( S `  G )  e.  T
)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( S `  G )  e.  T
)
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  K
)
2726, 1, 2ltrncoidN 30862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T  /\  ( S `  G
)  e.  T )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  F
)  =  ( S `
 G ) ) )
2818, 22, 25, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  F
)  =  ( S `
 G ) ) )
2918, 23, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  `' G  e.  T )
301, 2ltrnco 31453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
3118, 20, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
32 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 31559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( ( F  o.  `' G )  e.  T  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( ( S `  ( F  o.  `' G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
S  =  O ) )
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 ( F  o.  `' G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
S  =  O ) )
3617, 28, 353bitr3d 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  =  ( S `  G
)  <->  S  =  O
) )
3736biimpd 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  =  ( S `  G
)  ->  S  =  O ) )
3837impancom 428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =/=  (  _I  |`  B )  ->  S  =  O ) )
3938necon1d 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( S  =/=  O  ->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )
40 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41 simpl3l 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  F  e.  T )
42 simpl3r 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  G  e.  T )
4326, 1, 2ltrncoidN 30862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  <->  F  =  G ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  <->  F  =  G ) )
4539, 44sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( S  =/=  O  ->  F  =  G ) )
46453exp1 1169 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  (
( S `  F
)  =  ( S `
 G )  -> 
( S  =/=  O  ->  F  =  G ) ) ) ) )
4746com24 83 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  ( S  e.  E  ->  ( S  =/=  O  ->  F  =  G )
) ) ) )
4847imp5a 582 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  (
( S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  F  =  G ) ) ) )
4948com24 83 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  ->  (
( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  F  =  G ) ) ) )
50493imp 1147 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  F  =  G ) )
51 fveq2 5720 . 2  |-  ( F  =  G  ->  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )
5250, 51impbid1 195 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  <->  F  =  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    e. cmpt 4258    _I cid 4485   `'ccnv 4869    |` cres 4872    o. ccom 4874   ` cfv 5446   Basecbs 13461   HLchlt 30085   LHypclh 30718   LTrncltrn 30835   TEndoctendo 31486
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  32054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-map 7012  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tendo 31489
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