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Theorem tendospcanN 31138
Description: Cancellation law for trace-perserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendospcan.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendospcan.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendospcan.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendospcan.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
tendospcanN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  <->  F  =  G ) )
Distinct variable groups:    B, f    T, f
Allowed substitution hints:    S( f)    E( f)    F( f)    G( f)    H( f)    K( f)    O( f)    W( f)

Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
41, 2, 3tendocnv 31136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  `' ( S `  G )  =  ( S `  `' G ) )
543adant3l 1180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  `' ( S `  G )  =  ( S `  `' G ) )
65coeq2d 4975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( S `  F
)  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' G ) ) )
7 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  S  e.  E )
9 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  F  e.  T )
10 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  G  e.  T )
111, 2ltrncnv 30260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
127, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  `' G  e.  T )
131, 2, 3tendospdi1 31135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T ) )  -> 
( S `  ( F  o.  `' G
) )  =  ( ( S `  F
)  o.  ( S `
 `' G ) ) )
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( S `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' G
) ) )
156, 14eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( S `  F
)  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( S `
 ( F  o.  `' G ) ) )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( S `  ( F  o.  `' G
) ) )
1716eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  ( F  o.  `' G
) )  =  (  _I  |`  B )
) )
18 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
19 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  S  e.  E
)
20 simpl3l 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  F  e.  T
)
211, 2, 3tendocl 30881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F )  e.  T
)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( S `  F )  e.  T
)
23 simpl3r 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  G  e.  T
)
241, 2, 3tendocl 30881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( S `  G )  e.  T
)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( S `  G )  e.  T
)
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  K
)
2726, 1, 2ltrncoidN 30242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T  /\  ( S `  G
)  e.  T )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  F
)  =  ( S `
 G ) ) )
2818, 22, 25, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  F
)  =  ( S `
 G ) ) )
2918, 23, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  `' G  e.  T )
301, 2ltrnco 30833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
3118, 20, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
32 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 30939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( ( F  o.  `' G )  e.  T  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( ( S `  ( F  o.  `' G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
S  =  O ) )
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 ( F  o.  `' G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
S  =  O ) )
3617, 28, 353bitr3d 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  =  ( S `  G
)  <->  S  =  O
) )
3736biimpd 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  =  ( S `  G
)  ->  S  =  O ) )
3837impancom 428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =/=  (  _I  |`  B )  ->  S  =  O ) )
3938necon1d 2619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( S  =/=  O  ->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )
40 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41 simpl3l 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  F  e.  T )
42 simpl3r 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  G  e.  T )
4326, 1, 2ltrncoidN 30242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  <->  F  =  G ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  <->  F  =  G ) )
4539, 44sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( S  =/=  O  ->  F  =  G ) )
46453exp1 1169 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  (
( S `  F
)  =  ( S `
 G )  -> 
( S  =/=  O  ->  F  =  G ) ) ) ) )
4746com24 83 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  ( S  e.  E  ->  ( S  =/=  O  ->  F  =  G )
) ) ) )
4847imp5a 582 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  (
( S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  F  =  G ) ) ) )
4948com24 83 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  ->  (
( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  F  =  G ) ) ) )
50493imp 1147 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  F  =  G ) )
51 fveq2 5668 . 2  |-  ( F  =  G  ->  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )
5250, 51impbid1 195 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  <->  F  =  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    e. cmpt 4207    _I cid 4434   `'ccnv 4817    |` cres 4820    o. ccom 4822   ` cfv 5394   Basecbs 13396   HLchlt 29465   LHypclh 30098   LTrncltrn 30215   TEndoctendo 30866
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  31434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-map 6956  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613  df-lvols 29614  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273  df-tendo 30869
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