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Theorem tendospcanN 31835
Description: Cancellation law for trace-perserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendospcan.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendospcan.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendospcan.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendospcan.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
tendospcanN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  <->  F  =  G ) )
Distinct variable groups:    B, f    T, f
Allowed substitution hints:    S( f)    E( f)    F( f)    G( f)    H( f)    K( f)    O( f)    W( f)

Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
41, 2, 3tendocnv 31833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  `' ( S `  G )  =  ( S `  `' G ) )
543adant3l 1178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  `' ( S `  G )  =  ( S `  `' G ) )
65coeq2d 4862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( S `  F
)  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' G ) ) )
7 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  S  e.  E )
9 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  F  e.  T )
10 simp3r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  G  e.  T )
111, 2ltrncnv 30957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
127, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  `' G  e.  T )
131, 2, 3tendospdi1 31832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T ) )  -> 
( S `  ( F  o.  `' G
) )  =  ( ( S `  F
)  o.  ( S `
 `' G ) ) )
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( S `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' G
) ) )
156, 14eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( S `  F
)  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( S `
 ( F  o.  `' G ) ) )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( S `  ( F  o.  `' G
) ) )
1716eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  ( F  o.  `' G
) )  =  (  _I  |`  B )
) )
18 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
19 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  S  e.  E
)
20 simpl3l 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  F  e.  T
)
211, 2, 3tendocl 31578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F )  e.  T
)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( S `  F )  e.  T
)
23 simpl3r 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  G  e.  T
)
241, 2, 3tendocl 31578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( S `  G )  e.  T
)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( S `  G )  e.  T
)
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  K
)
2726, 1, 2ltrncoidN 30939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T  /\  ( S `  G
)  e.  T )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  F
)  =  ( S `
 G ) ) )
2818, 22, 25, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  F
)  =  ( S `
 G ) ) )
2918, 23, 11syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  `' G  e.  T )
301, 2ltrnco 31530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
3118, 20, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
32 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 31636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( ( F  o.  `' G )  e.  T  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( ( S `  ( F  o.  `' G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
S  =  O ) )
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 ( F  o.  `' G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
S  =  O ) )
3617, 28, 353bitr3d 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  =  ( S `  G
)  <->  S  =  O
) )
3736biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  =  ( S `  G
)  ->  S  =  O ) )
3837impancom 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =/=  (  _I  |`  B )  ->  S  =  O ) )
3938necon1d 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( S  =/=  O  ->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )
40 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41 simpl3l 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  F  e.  T )
42 simpl3r 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  G  e.  T )
4326, 1, 2ltrncoidN 30939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  <->  F  =  G ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  <->  F  =  G ) )
4539, 44sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( S  =/=  O  ->  F  =  G ) )
46453exp1 1167 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  (
( S `  F
)  =  ( S `
 G )  -> 
( S  =/=  O  ->  F  =  G ) ) ) ) )
4746com24 81 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  ( S  e.  E  ->  ( S  =/=  O  ->  F  =  G )
) ) ) )
4847imp5a 581 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  (
( S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  F  =  G ) ) ) )
4948com24 81 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  ->  (
( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  F  =  G ) ) ) )
50493imp 1145 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  F  =  G ) )
51 fveq2 5541 . 2  |-  ( F  =  G  ->  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )
5250, 51impbid1 194 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  <->  F  =  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    e. cmpt 4093    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   ` cfv 5271   Basecbs 13164   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   TEndoctendo 31563
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  32131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566
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