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Theorem tfinds2 4654
Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first three hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis and the induction hypotheses (for successor and limit ordinals respectively). Theorem Schema 4 of [Suppes] p. 197. The wff  ta is an auxiliary antecedent to help shorten proofs using this theorem. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
tfinds2.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
tfinds2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
tfinds2.3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
tfinds2.4  |-  ( ta 
->  ps )
tfinds2.5  |-  ( y  e.  On  ->  ( ta  ->  ( ch  ->  th ) ) )
tfinds2.6  |-  ( Lim  x  ->  ( ta  ->  ( A. y  e.  x  ch  ->  ph )
) )
Assertion
Ref Expression
tfinds2  |-  ( x  e.  On  ->  ( ta  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, ta    ps, x    ch, x    th, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)

Proof of Theorem tfinds2
StepHypRef Expression
1 tfinds2.4 . . 3  |-  ( ta 
->  ps )
2 0ex 4150 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
3 tfinds2.1 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
43imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  ps ) ) )
52, 4sbcie 3025 . . 3  |-  ( [. (/)  /  x ]. ( ta 
->  ph )  <->  ( ta  ->  ps ) )
61, 5mpbir 200 . 2  |-  [. (/)  /  x ]. ( ta  ->  ph )
7 vex 2791 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
8 tfinds2.5 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  On  ->  ( ta  ->  ( ch  ->  th ) ) )
98a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
109sbcth 3005 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) )
117, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
12 sbcimg 3032 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. ( y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )  <-> 
( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  /  y ]. ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) ) )
137, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( [. x  /  y ]. (
y  e.  On  ->  ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )  <->  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  / 
y ]. ( ( ta 
->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) ) )
1411, 13mpbi 199 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  ->  [. x  / 
y ]. ( ( ta 
->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) ) )
15 sbcel1gv 3050 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  <->  x  e.  On ) )
167, 15ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. y  e.  On  <->  x  e.  On )
17 sbcimg 3032 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  y ]. ( ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) )  <->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) ) )
187, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. (
( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  th ) )  <->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) )
1914, 16, 183imtr3i 256 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  ->  [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )
) )
20 tfinds2.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
2120bicomd 192 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
2221equcoms 1651 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
2322imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( ta  ->  ch ) 
<->  ( ta  ->  ph )
) )
247, 23sbcie 3025 . . 3  |-  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  ch )  <->  ( ta  ->  ph ) )
25 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
2625sucex 4602 . . . . . 6  |-  suc  y  e.  _V
27 tfinds2.3 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
2827imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  th ) ) )
2926, 28sbcie 3025 . . . . 5  |-  ( [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  ( ta  ->  th )
)
3029sbcbii 3046 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  [. x  / 
y ]. ( ta  ->  th ) )
31 suceq 4457 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
3231sbcco2 3014 . . . 4  |-  ( [. x  /  y ]. [. suc  y  /  x ]. ( ta  ->  ph )  <->  [. suc  x  /  x ]. ( ta 
->  ph ) )
3330, 32bitr3i 242 . . 3  |-  ( [. x  /  y ]. ( ta  ->  th )  <->  [. suc  x  /  x ]. ( ta 
->  ph ) )
3419, 24, 333imtr3g 260 . 2  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ta  ->  ph )  ->  [. suc  x  /  x ]. ( ta  ->  ph ) ) )
35 sbsbc 2995 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )
)
3623sbralie 2777 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  A. x  e.  y  ( ta  ->  ph ) )
3735, 36bitr3i 242 . . 3  |-  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  A. x  e.  y  ( ta  ->  ph ) )
38 r19.21v 2630 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  <->  ( ta  ->  A. y  e.  x  ch ) )
39 tfinds2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( ta  ->  ( A. y  e.  x  ch  ->  ph )
) )
4039a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( ( ta  ->  A. y  e.  x  ch )  ->  ( ta 
->  ph ) ) )
4138, 40syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )
4241sbcth 3005 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) ) )
4325, 42ax-mp 8 . . . . 5  |-  [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )
44 sbcimg 3032 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. ( Lim  x  -> 
( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) )  <-> 
( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) ) ) )
4525, 44ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( [. y  /  x ]. ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  -> 
( ta  ->  ph )
) )  <->  ( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) ) )
4643, 45mpbi 199 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. Lim  x  ->  [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) ) )
47 limeq 4404 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( Lim  x  <->  Lim  y ) )
4825, 47sbcie 3025 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. Lim  x 
<->  Lim  y )
49 sbcimg 3032 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph ) )  <->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta  ->  ph )
) ) )
5025, 49ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. ( A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  ( ta  ->  ph )
)  <->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta 
->  ph ) ) )
5146, 48, 503imtr3i 256 . . 3  |-  ( Lim  y  ->  ( [. y  /  x ]. A. y  e.  x  ( ta  ->  ch )  ->  [. y  /  x ]. ( ta  ->  ph )
) )
5237, 51syl5bir 209 . 2  |-  ( Lim  y  ->  ( A. x  e.  y  ( ta  ->  ph )  ->  [. y  /  x ]. ( ta 
->  ph ) ) )
536, 34, 52tfindes 4653 1  |-  ( x  e.  On  ->  ( ta  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623   [wsb 1629    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991   (/)c0 3455   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394
This theorem is referenced by:  abianfplem  6470  inar1  8397  grur1a  8441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398
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