Theorem tfis2f 3134

Description: Transfinite Induction Schema with implicit substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
tfis2f.1	|- (ps -> A.xps)
tfis2f.2	|- (x = y -> (ph <-> ps))
tfis2f.3	|- (x e. On -> (A.y e. x ps -> ph))

Assertion

Ref	Expression
tfis2f	|- (x e. On -> ph)

Distinct variable groups:   ph,y   x,y

Proof of Theorem tfis2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis2f.3	. . 3 |- (x e. On -> (A.y e. x ps -> ph))
2		tfis2f.1	. . . . 5 |- (ps -> A.xps)
3		tfis2f.2	. . . . 5 |- (x = y -> (ph <-> ps))
4	2, 3	sbie 1198	. . . 4 |- ([y / x]ph <-> ps)
5	4	ralbii 1670	. . 3 |- (A.y e. x [y / x]ph <-> A.y e. x ps)
6	1, 5	syl5ib 206	. 2 |- (x e. On -> (A.y e. x [y / x]ph -> ph))
7	6	tfis 3133	1 |- (x e. On -> ph)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  [wsbc 1172  A.wral 1648  Oncon0 2954

This theorem is referenced by:  tfis2 3135  tfr3 3932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958

Copyright terms: Public domain