Theorem tfis3 3130

Description: Transfinite Induction Schema with implicit substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
tfis3.1	|- (x = y -> (ph <-> ps))
tfis3.2	|- (x = A -> (ph <-> ch))
tfis3.3	|- (x e. On -> (A.y e. x ps -> ph))

Assertion

Ref	Expression
tfis3	|- (A e. On -> ch)

Distinct variable groups:   ps,x   ph,y   ch,x   x,A   x,y

Proof of Theorem tfis3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis3.2	. 2 |- (x = A -> (ph <-> ch))
2		tfis3.1	. . 3 |- (x = y -> (ph <-> ps))
3		tfis3.3	. . 3 |- (x e. On -> (A.y e. x ps -> ph))
4	2, 3	tfis2 3129	. 2 |- (x e. On -> ph)
5	1, 4	vtoclga 1852	1 |- (A e. On -> ch)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Oncon0 2948

This theorem is referenced by:  tfinds 3161  rankonid 4695  alephle 4884

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952

Copyright terms: Public domain