MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfisi Structured version   Unicode version

Theorem tfisi 4830
Description: A transfinite induction scheme in "implicit" form where the induction is done on an object derived from the object of interest. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tfisi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tfisi.b  |-  ( ph  ->  T  e.  On )
tfisi.c  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  On  /\  R  C_  T )  /\  A. y ( S  e.  R  ->  ch )
)  ->  ps )
tfisi.d  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
tfisi.e  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  th ) )
tfisi.f  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
tfisi.g  |-  ( x  =  A  ->  R  =  T )
Assertion
Ref Expression
tfisi  |-  ( ph  ->  th )
Distinct variable groups:    x, y, T    y, R    x, S    ch, x    ph, x, y    ps, y    x, A    th, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y)    th( y)    A( y)    R( x)    S( y)    V( x, y)

Proof of Theorem tfisi
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3359 . 2  |-  T  C_  T
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  T  =  T
3 tfisi.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 tfisi.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  On )
5 eqeq2 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  ( R  =  z  <->  R  =  w ) )
6 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
z  C_  T  <->  w  C_  T
) )
76anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( ph  /\  z  C_  T )  <->  ( ph  /\  w  C_  T )
) )
87imbi1d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( ph  /\  z  C_  T )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ps ) ) )
95, 8imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
( R  =  z  ->  ( ( ph  /\  z  C_  T )  ->  ps ) )  <->  ( R  =  w  ->  ( (
ph  /\  w  C_  T
)  ->  ps )
) ) )
109albidv 1635 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x ( R  =  z  ->  ( ( ph  /\  z  C_  T
)  ->  ps )
)  <->  A. x ( R  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ps ) ) ) )
11 tfisi.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
1211eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( R  =  w  <->  S  =  w ) )
13 tfisi.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
1413imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )
1512, 14imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( R  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ps ) )  <->  ( S  =  w  ->  ( (
ph  /\  w  C_  T
)  ->  ch )
) ) )
1615cbvalv 1984 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( R  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T
)  ->  ps )
)  <->  A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )
1710, 16syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x ( R  =  z  ->  ( ( ph  /\  z  C_  T
)  ->  ps )
)  <->  A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) ) )
18 eqeq2 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  T  ->  ( R  =  z  <->  R  =  T ) )
19 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  T  ->  (
z  C_  T  <->  T  C_  T
) )
2019anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  T  ->  (
( ph  /\  z  C_  T )  <->  ( ph  /\  T  C_  T )
) )
2120imbi1d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  T  ->  (
( ( ph  /\  z  C_  T )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  T  C_  T )  ->  ps ) ) )
2218, 21imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  T  ->  (
( R  =  z  ->  ( ( ph  /\  z  C_  T )  ->  ps ) )  <->  ( R  =  T  ->  ( (
ph  /\  T  C_  T
)  ->  ps )
) ) )
2322albidv 1635 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  T  ->  ( A. x ( R  =  z  ->  ( ( ph  /\  z  C_  T
)  ->  ps )
)  <->  A. x ( R  =  T  ->  (
( ph  /\  T  C_  T )  ->  ps ) ) ) )
24 simp3l 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  On  /\ 
A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  ->  ph )
25 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  On  /\ 
A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  ->  R  =  z )
26 simp1l 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  On  /\ 
A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  -> 
z  e.  On )
2725, 26eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  On  /\ 
A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  ->  R  e.  On )
28 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  On  /\ 
A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  -> 
z  C_  T )
2925, 28eqsstrd 3374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  On  /\ 
A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  ->  R  C_  T )
30 simpl3l 1012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  ph )
31 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  z  e.  On )
32 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)
33 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  R  =  z )
3432, 33eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  [_ v  /  x ]_ R  e.  z )
35 onelss 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  On  ->  ( [_ v  /  x ]_ R  e.  z  ->  [_ v  /  x ]_ R  C_  z ) )
3631, 34, 35sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  [_ v  /  x ]_ R  C_  z
)
37 simpl3r 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  z  C_  T )
3836, 37sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  [_ v  /  x ]_ R  C_  T
)
39 simpl1r 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )
40 eqeq2 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  ( S  =  w  <->  S  =  [_ v  /  x ]_ R ) )
41 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  (
w  C_  T  <->  [_ v  /  x ]_ R  C_  T
) )
4241anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  <->  ( ph  /\ 
[_ v  /  x ]_ R  C_  T ) ) )
4342imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  (
( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch )  <->  ( ( ph  /\ 
[_ v  /  x ]_ R  C_  T )  ->  ch ) ) )
4440, 43imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  (
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) )  <->  ( S  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  ( (
ph  /\  [_ v  /  x ]_ R  C_  T
)  ->  ch )
) ) )
4544albidv 1635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  ( A. y ( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T
)  ->  ch )
)  <->  A. y ( S  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  (
( ph  /\  [_ v  /  x ]_ R  C_  T )  ->  ch ) ) ) )
4645rspcva 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[_ v  /  x ]_ R  e.  z  /\  A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  ->  A. y ( S  = 
[_ v  /  x ]_ R  ->  ( (
ph  /\  [_ v  /  x ]_ R  C_  T
)  ->  ch )
) )
4734, 39, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  A. y
( S  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  ( ( ph  /\  [_ v  /  x ]_ R  C_  T )  ->  ch ) ) )
48 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  [_ v  /  x ]_ R  =  [_ v  /  x ]_ R
)
49 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ x
y
50 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ x S
5149, 50, 11csbhypf 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  y  ->  [_ v  /  x ]_ R  =  S )
5251eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  y  ->  S  =  [_ v  /  x ]_ R )
5352equcoms 1693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  v  ->  S  =  [_ v  /  x ]_ R )
5453eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  v  ->  ( S  =  [_ v  /  x ]_ R  <->  [_ v  /  x ]_ R  =  [_ v  /  x ]_ R
) )
55 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x ch
5655, 13sbhypf 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  y  ->  ( [ v  /  x ] ps  <->  ch ) )
5756bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  y  ->  ( ch 
<->  [ v  /  x ] ps ) )
5857equcoms 1693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  v  ->  ( ch 
<->  [ v  /  x ] ps ) )
5958imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( ph  /\  [_ v  /  x ]_ R  C_  T )  ->  ch )  <->  ( ( ph  /\ 
[_ v  /  x ]_ R  C_  T )  ->  [ v  /  x ] ps ) ) )
6054, 59imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  v  ->  (
( S  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  ( ( ph  /\  [_ v  /  x ]_ R  C_  T )  ->  ch ) )  <->  ( [_ v  /  x ]_ R  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  ( (
ph  /\  [_ v  /  x ]_ R  C_  T
)  ->  [ v  /  x ] ps )
) ) )
6160spv 1965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. y ( S  = 
[_ v  /  x ]_ R  ->  ( (
ph  /\  [_ v  /  x ]_ R  C_  T
)  ->  ch )
)  ->  ( [_ v  /  x ]_ R  =  [_ v  /  x ]_ R  ->  ( (
ph  /\  [_ v  /  x ]_ R  C_  T
)  ->  [ v  /  x ] ps )
) )
6247, 48, 61sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  ( ( ph  /\  [_ v  /  x ]_ R  C_  T
)  ->  [ v  /  x ] ps )
)
6330, 38, 62mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y
( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  /\  [_ v  /  x ]_ R  e.  R
)  ->  [ v  /  x ] ps )
6463ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  On  /\ 
A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  -> 
( [_ v  /  x ]_ R  e.  R  ->  [ v  /  x ] ps ) )
6564alrimiv 1641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  On  /\ 
A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  ->  A. v ( [_ v  /  x ]_ R  e.  R  ->  [ v  /  x ] ps )
)
6651eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  y  ->  ( [_ v  /  x ]_ R  e.  R  <->  S  e.  R ) )
6766, 56imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  (
( [_ v  /  x ]_ R  e.  R  ->  [ v  /  x ] ps )  <->  ( S  e.  R  ->  ch )
) )
6867cbvalv 1984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v ( [_ v  /  x ]_ R  e.  R  ->  [ v  /  x ] ps )  <->  A. y ( S  e.  R  ->  ch )
)
6965, 68sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  On  /\ 
A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  ->  A. y ( S  e.  R  ->  ch )
)
70 tfisi.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  On  /\  R  C_  T )  /\  A. y ( S  e.  R  ->  ch )
)  ->  ps )
7124, 27, 29, 69, 70syl121anc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  On  /\ 
A. w  e.  z 
A. y ( S  =  w  ->  (
( ph  /\  w  C_  T )  ->  ch ) ) )  /\  R  =  z  /\  ( ph  /\  z  C_  T ) )  ->  ps )
72713exp 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y ( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T
)  ->  ch )
) )  ->  ( R  =  z  ->  ( ( ph  /\  z  C_  T )  ->  ps ) ) )
7372alrimiv 1641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  A. w  e.  z  A. y ( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T
)  ->  ch )
) )  ->  A. x
( R  =  z  ->  ( ( ph  /\  z  C_  T )  ->  ps ) ) )
7473ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  On  ->  ( A. w  e.  z  A. y ( S  =  w  ->  ( ( ph  /\  w  C_  T
)  ->  ch )
)  ->  A. x
( R  =  z  ->  ( ( ph  /\  z  C_  T )  ->  ps ) ) ) )
7517, 23, 74tfis3 4829 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  On  ->  A. x
( R  =  T  ->  ( ( ph  /\  T  C_  T )  ->  ps ) ) )
764, 75syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x ( R  =  T  ->  (
( ph  /\  T  C_  T )  ->  ps ) ) )
77 tfisi.g . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  R  =  T )
7877eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( R  =  T  <->  T  =  T ) )
79 tfisi.e . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  th ) )
8079imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( ph  /\  T  C_  T )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  T  C_  T )  ->  th ) ) )
8178, 80imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( R  =  T  ->  ( ( ph  /\  T  C_  T )  ->  ps ) )  <->  ( T  =  T  ->  ( (
ph  /\  T  C_  T
)  ->  th )
) ) )
8281spcgv 3028 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ( R  =  T  ->  ( ( ph  /\  T  C_  T
)  ->  ps )
)  ->  ( T  =  T  ->  ( (
ph  /\  T  C_  T
)  ->  th )
) ) )
833, 76, 82sylc 58 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  =  T  ->  ( ( ph  /\  T  C_  T )  ->  th ) ) )
842, 83mpi 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ph  /\  T  C_  T )  ->  th ) )
8584exp3a 426 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  ->  ( T  C_  T  ->  th )
) )
8685pm2.43i 45 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  C_  T  ->  th ) )
871, 86mpi 17 1  |-  ( ph  ->  th )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652   [wsb 1658    e. wcel 1725   A.wral 2697   [_csb 3243    C_ wss 3312   Oncon0 4573
This theorem is referenced by:  indcardi  7912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577
  Copyright terms: Public domain W3C validator