Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfr2b Structured version   Unicode version

Theorem tfr2b 6659
 Description: Without assuming ax-rep 4322, we can show that all proper initial subsets of recs are sets, while nothing larger is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1 recs
Assertion
Ref Expression
tfr2b

Proof of Theorem tfr2b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordeleqon 4771 . 2
2 eqid 2438 . . . . 5
32tfrlem15 6655 . . . 4 recs recs
4 tfr.1 . . . . . 6 recs
54dmeqi 5073 . . . . 5 recs
65eleq2i 2502 . . . 4 recs
74reseq1i 5144 . . . . 5 recs
87eleq1i 2501 . . . 4 recs
93, 6, 83bitr4g 281 . . 3
10 onprc 4767 . . . . . 6
11 elex 2966 . . . . . 6
1210, 11mto 170 . . . . 5
13 eleq1 2498 . . . . 5
1412, 13mtbiri 296 . . . 4
152tfrlem13 6653 . . . . . 6 recs
164eleq1i 2501 . . . . . 6 recs
1715, 16mtbir 292 . . . . 5
18 reseq2 5143 . . . . . . 7
194tfr1a 6657 . . . . . . . . . 10
2019simpli 446 . . . . . . . . 9
21 funrel 5473 . . . . . . . . 9
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . 8
2319simpri 450 . . . . . . . . 9
24 limord 4642 . . . . . . . . 9
25 ordsson 4772 . . . . . . . . 9
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8
27 relssres 5185 . . . . . . . 8
2822, 26, 27mp2an 655 . . . . . . 7
2918, 28syl6eq 2486 . . . . . 6
3029eleq1d 2504 . . . . 5
3117, 30mtbiri 296 . . . 4
3214, 312falsed 342 . . 3
339, 32jaoi 370 . 2
341, 33sylbi 189 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322   word 4582  con0 4583   wlim 4584   cdm 4880   cres 4882   wrel 4885   wfun 5450   wfn 5451  cfv 5456  recscrecs 6634 This theorem is referenced by:  ordtypelem3  7491  ordtypelem9  7497 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635
 Copyright terms: Public domain W3C validator