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Theorem tfrALTlem 24347
Description: Lemma for deriving transfinite recursion from well-founded recursion. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
tfrALTlem  |-  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) }
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    G( x, y, f)

Proof of Theorem tfrALTlem
StepHypRef Expression
1 df-rex 2562 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x
( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) ) )
2 onelon 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
3 predon 24264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Pred (  _E  ,  On ,  y )  =  y )
43reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  (
f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y )
)  =  ( f  |`  y ) )
54fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( G `  ( f  |` 
Pred (  _E  ,  On ,  y )
) )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
65eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
72, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y )
) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
87ralbidva 2572 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
98pm5.32i 618 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) )  <-> 
( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
10 df-ord 4411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  x  <->  ( Tr  x  /\  _E  We  x ) )
11 ordsson 4597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  x  ->  x  C_  On )
1210, 11sylbir 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Tr  x  /\  _E  We  x )  ->  x  C_  On )
1312ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  x  ->  (  _E  We  x  ->  x  C_  On ) )
14 epweon 4591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _E  We  On
15 wess 4396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  x ) )
1614, 15mpi 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  On  ->  _E  We  x )
1713, 16impbid1 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  x  ->  (  _E  We  x  <->  x  C_  On ) )
1817pm5.32i 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Tr  x  /\  _E  We  x )  <->  ( Tr  x  /\  x  C_  On ) )
19 ancom 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  On  /\  Tr  x )  <->  ( Tr  x  /\  x  C_  On ) )
2018, 10, 193bitr4i 268 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord  x  <->  ( x  C_  On  /\  Tr  x ) )
21 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2221elon 4417 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
23 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
2423, 3syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  On  /\  y  e.  x )  ->  Pred (  _E  ,  On ,  y )  =  y )
2524sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  On  /\  y  e.  x )  ->  ( Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x 
<->  y  C_  x )
)
2625ralbidva 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  On  ->  ( A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  x  y  C_  x ) )
27 dftr3 4133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  x  <->  A. y  e.  x  y  C_  x )
2826, 27syl6bbr 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  On  ->  ( A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x 
<->  Tr  x ) )
2928pm5.32i 618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  <->  ( x  C_  On  /\  Tr  x
) )
3020, 22, 293bitr4i 268 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  <->  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )
)
3130anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) )  <-> 
( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
329, 31bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  ( (
x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
3332anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) ) )
34 an12 772 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )
35 3anass 938 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  ( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) ) )
3633, 34, 353bitr4i 268 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
3736exbii 1572 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )  <->  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
381, 37bitri 240 . 2  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\ 
A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) )
3938abbii 2408 1  |-  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  Pred (  _E  ,  On ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  _E  ,  On ,  y ) ) ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   Tr wtr 4129    _E cep 4319    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408    |` cres 4707    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   Predcpred 24238
This theorem is referenced by:  tfr1ALT  24348  tfr2ALT  24349  tfr3ALT  24350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fv 5279  df-pred 24239
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