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Theorem tfrlem5 6396
Description: Lemma for transfinite recursion. The values of two acceptable functions are the same within their domains. (Contributed by NM, 9-Apr-1995.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrlem.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
Assertion
Ref Expression
tfrlem5  |-  ( ( g  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( ( <. x ,  u >.  e.  g  /\  <. x ,  v
>.  e.  h )  ->  u  =  v )
)
Distinct variable groups:    f, g, x, y, h, u, v, F    A, g, h
Allowed substitution hints:    A( x, y, v, u, f)

Proof of Theorem tfrlem5
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlem.1 . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
21tfrlem3 6393 . . . . 5  |-  A  =  { g  |  E. z  e.  On  (
g  Fn  z  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y
) ) ) }
32abeq2i 2390 . . . 4  |-  ( g  e.  A  <->  E. z  e.  On  ( g  Fn  z  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y ) ) ) )
41tfrlem3 6393 . . . . 5  |-  A  =  { h  |  E. w  e.  On  (
h  Fn  w  /\  A. y  e.  w  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) }
54abeq2i 2390 . . . 4  |-  ( h  e.  A  <->  E. w  e.  On  ( h  Fn  w  /\  A. y  e.  w  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )
63, 5anbi12i 678 . . 3  |-  ( ( g  e.  A  /\  h  e.  A )  <->  ( E. z  e.  On  ( g  Fn  z  /\  A. y  e.  z  ( g `  y
)  =  ( F `
 ( g  |`  y ) ) )  /\  E. w  e.  On  ( h  Fn  w  /\  A. y  e.  w  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
7 reeanv 2707 . . 3  |-  ( E. z  e.  On  E. w  e.  On  (
( g  Fn  z  /\  A. y  e.  z  ( g `  y
)  =  ( F `
 ( g  |`  y ) ) )  /\  ( h  Fn  w  /\  A. y  e.  w  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )  <->  ( E. z  e.  On  ( g  Fn  z  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y ) ) )  /\  E. w  e.  On  ( h  Fn  w  /\  A. y  e.  w  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
86, 7bitr4i 243 . 2  |-  ( ( g  e.  A  /\  h  e.  A )  <->  E. z  e.  On  E. w  e.  On  (
( g  Fn  z  /\  A. y  e.  z  ( g `  y
)  =  ( F `
 ( g  |`  y ) ) )  /\  ( h  Fn  w  /\  A. y  e.  w  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
9 onin 4423 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( z  i^i  w
)  e.  On )
10 r19.26m 2678 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y  e.  z  ->  (
g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y
) ) )  /\  ( y  e.  w  ->  ( h `  y
)  =  ( F `
 ( h  |`  y ) ) ) )  <->  ( A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y ) )  /\  A. y  e.  w  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )
11 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  e.  On  /\  y  e.  ( z  i^i  w ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  w ) )
12 elin 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( y  e.  z  /\  y  e.  w ) )
1311, 12sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  e.  On  /\  y  e.  ( z  i^i  w ) )  -> 
( y  e.  z  /\  y  e.  w
) )
14 prth 554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  z  ->  ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y ) ) )  /\  ( y  e.  w  ->  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  z  /\  y  e.  w )  ->  ( ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y ) )  /\  ( h `  y
)  =  ( F `
 ( h  |`  y ) ) ) ) )
1513, 14syl5 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  z  ->  ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y ) ) )  /\  ( y  e.  w  ->  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )  ->  ( (
( z  i^i  w
)  e.  On  /\  y  e.  ( z  i^i  w ) )  -> 
( ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y ) )  /\  ( h `  y
)  =  ( F `
 ( h  |`  y ) ) ) ) )
16 onelss 4434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  (
y  e.  ( z  i^i  w )  -> 
y  C_  ( z  i^i  w ) ) )
1716impac 604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  e.  On  /\  y  e.  ( z  i^i  w ) )  -> 
( y  C_  (
z  i^i  w )  /\  y  e.  (
z  i^i  w )
) )
18 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( z  i^i  w )  ->  (
( g  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( g `  y ) )
19 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( g  |`  (
z  i^i  w )
)  |`  y )  =  ( g  |`  y
) )
2019fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( z  i^i  w )  ->  ( F `  ( (
g  |`  ( z  i^i  w ) )  |`  y ) )  =  ( F `  (
g  |`  y ) ) )
2118, 20eqeqan12rd 2299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  ( z  i^i  w )  /\  y  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  (
( ( g  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  <->  ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y ) ) ) )
22 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( z  i^i  w )  ->  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( h `  y ) )
23 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
)  |`  y )  =  ( h  |`  y
) )
2423fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( z  i^i  w )  ->  ( F `  ( (
h  |`  ( z  i^i  w ) )  |`  y ) )  =  ( F `  (
h  |`  y ) ) )
2522, 24eqeqan12rd 2299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  ( z  i^i  w )  /\  y  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  (
( ( h  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  <->  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )
2621, 25anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  ( z  i^i  w )  /\  y  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  (
( ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) )  <->  ( (
g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y
) )  /\  (
h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
2717, 26syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  e.  On  /\  y  e.  ( z  i^i  w ) )  -> 
( ( ( ( g  |`  ( z  i^i  w ) ) `  y )  =  ( F `  ( ( g  |`  ( z  i^i  w ) )  |`  y ) )  /\  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) )  <->  ( (
g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y
) )  /\  (
h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
2827bicomd 192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  e.  On  /\  y  e.  ( z  i^i  w ) )  -> 
( ( ( g `
 y )  =  ( F `  (
g  |`  y ) )  /\  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) )  <-> 
( ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) )
2915, 28mpbidi 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  z  ->  ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y ) ) )  /\  ( y  e.  w  ->  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )  ->  ( (
( z  i^i  w
)  e.  On  /\  y  e.  ( z  i^i  w ) )  -> 
( ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) )
3029exp3a 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  z  ->  ( g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y ) ) )  /\  ( y  e.  w  ->  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )  ->  ( (
z  i^i  w )  e.  On  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w
)  ->  ( (
( g  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) ) )
3130alimi 1546 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y  e.  z  ->  (
g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y
) ) )  /\  ( y  e.  w  ->  ( h `  y
)  =  ( F `
 ( h  |`  y ) ) ) )  ->  A. y
( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w )  ->  ( ( ( g  |`  ( z  i^i  w ) ) `  y )  =  ( F `  ( ( g  |`  ( z  i^i  w ) )  |`  y ) )  /\  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) ) )
3210, 31sylbir 204 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  z  ( g `  y
)  =  ( F `
 ( g  |`  y ) )  /\  A. y  e.  w  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) )  ->  A. y
( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w )  ->  ( ( ( g  |`  ( z  i^i  w ) ) `  y )  =  ( F `  ( ( g  |`  ( z  i^i  w ) )  |`  y ) )  /\  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) ) )
3332anim2i 552 . . . . . 6  |-  ( ( ( g  Fn  z  /\  h  Fn  w
)  /\  ( A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y
) )  /\  A. y  e.  w  (
h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )  -> 
( ( g  Fn  z  /\  h  Fn  w )  /\  A. y ( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w
)  ->  ( (
( g  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) ) ) )
3433an4s 799 . . . . 5  |-  ( ( ( g  Fn  z  /\  A. y  e.  z  ( g `  y
)  =  ( F `
 ( g  |`  y ) ) )  /\  ( h  Fn  w  /\  A. y  e.  w  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )  ->  ( (
g  Fn  z  /\  h  Fn  w )  /\  A. y ( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  (
y  e.  ( z  i^i  w )  -> 
( ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) ) ) )
35 2elresin 5355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  z  /\  h  Fn  w )  ->  ( ( <. x ,  u >.  e.  g  /\  <. x ,  v
>.  e.  h )  <->  ( <. x ,  u >.  e.  ( g  |`  ( z  i^i  w ) )  /\  <.
x ,  v >.  e.  ( h  |`  (
z  i^i  w )
) ) ) )
36 fnresin1 5358 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  Fn  z  ->  (
g  |`  ( z  i^i  w ) )  Fn  ( z  i^i  w
) )
37 fnresin2 5359 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  Fn  w  ->  (
h  |`  ( z  i^i  w ) )  Fn  ( z  i^i  w
) )
38 tfrlem2 6392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  |`  (
z  i^i  w )
)  Fn  ( z  i^i  w )  /\  ( h  |`  ( z  i^i  w ) )  Fn  ( z  i^i  w ) )  -> 
( ( <. x ,  u >.  e.  (
g  |`  ( z  i^i  w ) )  /\  <.
x ,  v >.  e.  ( h  |`  (
z  i^i  w )
) )  ->  (
( z  i^i  w
)  e.  On  ->  ( A. y ( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  (
y  e.  ( z  i^i  w )  -> 
( ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) )  ->  u  =  v ) ) ) )
3936, 37, 38syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  z  /\  h  Fn  w )  ->  ( ( <. x ,  u >.  e.  (
g  |`  ( z  i^i  w ) )  /\  <.
x ,  v >.  e.  ( h  |`  (
z  i^i  w )
) )  ->  (
( z  i^i  w
)  e.  On  ->  ( A. y ( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  (
y  e.  ( z  i^i  w )  -> 
( ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) )  ->  u  =  v ) ) ) )
4035, 39sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  z  /\  h  Fn  w )  ->  ( ( <. x ,  u >.  e.  g  /\  <. x ,  v
>.  e.  h )  -> 
( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  ( A. y ( ( z  i^i  w
)  e.  On  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w )  -> 
( ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) )  ->  u  =  v ) ) ) )
4140com24 81 . . . . . . 7  |-  ( ( g  Fn  z  /\  h  Fn  w )  ->  ( A. y ( ( z  i^i  w
)  e.  On  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w )  -> 
( ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) ) `  y
)  =  ( F `
 ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) )  ->  ( (
z  i^i  w )  e.  On  ->  ( ( <. x ,  u >.  e.  g  /\  <. x ,  v >.  e.  h
)  ->  u  =  v ) ) ) )
4241com3r 73 . . . . . 6  |-  ( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  (
( g  Fn  z  /\  h  Fn  w
)  ->  ( A. y ( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w
)  ->  ( (
( g  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) )  ->  ( ( <. x ,  u >.  e.  g  /\  <. x ,  v >.  e.  h
)  ->  u  =  v ) ) ) )
4342imp32 422 . . . . 5  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  e.  On  /\  ( ( g  Fn  z  /\  h  Fn  w )  /\  A. y ( ( z  i^i  w )  e.  On  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w
)  ->  ( (
( g  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( g  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) )  /\  (
( h  |`  (
z  i^i  w )
) `  y )  =  ( F `  ( ( h  |`  ( z  i^i  w
) )  |`  y
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( <. x ,  u >.  e.  g  /\  <. x ,  v
>.  e.  h )  ->  u  =  v )
)
449, 34, 43syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  /\  ( ( g  Fn  z  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y
) ) )  /\  ( h  Fn  w  /\  A. y  e.  w  ( h `  y
)  =  ( F `
 ( h  |`  y ) ) ) ) )  ->  (
( <. x ,  u >.  e.  g  /\  <. x ,  v >.  e.  h
)  ->  u  =  v ) )
4544ex 423 . . 3  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( ( ( g  Fn  z  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( F `  ( g  |`  y
) ) )  /\  ( h  Fn  w  /\  A. y  e.  w  ( h `  y
)  =  ( F `
 ( h  |`  y ) ) ) )  ->  ( ( <. x ,  u >.  e.  g  /\  <. x ,  v >.  e.  h
)  ->  u  =  v ) ) )
4645rexlimivv 2672 . 2  |-  ( E. z  e.  On  E. w  e.  On  (
( g  Fn  z  /\  A. y  e.  z  ( g `  y
)  =  ( F `
 ( g  |`  y ) ) )  /\  ( h  Fn  w  /\  A. y  e.  w  ( h `  y )  =  ( F `  ( h  |`  y ) ) ) )  ->  ( ( <. x ,  u >.  e.  g  /\  <. x ,  v >.  e.  h
)  ->  u  =  v ) )
478, 46sylbi 187 1  |-  ( ( g  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( ( <. x ,  u >.  e.  g  /\  <. x ,  v
>.  e.  h )  ->  u  =  v )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   <.cop 3643   Oncon0 4392    |` cres 4691    Fn wfn 5250   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  tfrlem7  6399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263
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