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Theorem tfrqfree 24561
Description: Calculate a quantifier-free version of the function from tfr1 6429 through tfr3 6431. (Contributed by Scott Fenton, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
tfrqfree  |-  ( (
Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
Distinct variable group:    x, f, y, G

Proof of Theorem tfrqfree
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  <-> 
( f  e.  Funs  /\  f  e.  ( `'Domain " On ) ) )
2 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
32elfuns 24525 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  Funs  <->  Fun  f )
4 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
54, 2brcnv 4880 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `'Domain f  <->  fDomain x )
62, 4brdomain 24543 . . . . . . . . . 10  |-  ( fDomain
x  <->  x  =  dom  f )
75, 6bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( x `'Domain f  <->  x  =  dom  f )
87rexbii 2581 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  x `'Domain f  <->  E. x  e.  On  x  =  dom  f )
92elima 5033 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( `'Domain " On ) 
<->  E. x  e.  On  x `'Domain f )
10 risset 2603 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  e.  On  <->  E. x  e.  On  x  =  dom  f )
118, 9, 103bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( `'Domain " On ) 
<->  dom  f  e.  On )
123, 11anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  Funs  /\  f  e.  ( `'Domain " On ) )  <->  ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On ) )
131, 12bitri 240 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  <-> 
( Fun  f  /\  dom  f  e.  On ) )
14 eldif 3175 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  ( <. f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  /\  -.  <.
f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )
15 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
162, 15opelco 4869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  <->  E. x ( fDomain x  /\  x `'  _E  y
) )
174, 15brcnv 4880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x `'  _E  y  <->  y  _E  x )
18 epel 4324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1917, 18bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x `'  _E  y  <->  y  e.  x )
206, 19anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( fDomain x  /\  x `'  _E  y )  <->  ( x  =  dom  f  /\  y  e.  x ) )
2120exbii 1572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( fDomain x  /\  x `'  _E  y
)  <->  E. x ( x  =  dom  f  /\  y  e.  x )
)
222dmex 4957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  f  e.  _V
23 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( y  e.  x  <->  y  e.  dom  f ) )
2422, 23ceqsexv 2836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( x  =  dom  f  /\  y  e.  x )  <->  y  e.  dom  f )
2516, 21, 243bitri 262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  <-> 
y  e.  dom  f
)
26 opex 4253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. f ,  y >.  e.  _V
2726elfix 24514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) )  <->  <. f ,  y >. ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) <.
f ,  y >.
)
2826, 26brco 4868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
f ,  y >.
( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) <.
f ,  y >.  <->  E. x ( <. f ,  y >. (FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. ) )
2926, 4brco 4868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
f ,  y >.
(FullFun G  o. Restrict ) x  <->  E. z ( <. f ,  y >.Restrict z  /\  zFullFun G x ) )
30 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
312, 15, 30brrestrict 24559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
f ,  y >.Restrict z  <-> 
z  =  ( f  |`  y ) )
3230, 4brfullfun 24558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( zFullFun
G x  <->  x  =  ( G `  z ) )
3331, 32anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. f ,  y >.Restrict z  /\  zFullFun G x )  <->  ( z  =  ( f  |`  y
)  /\  x  =  ( G `  z ) ) )
3433exbii 1572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z ( <. f ,  y >.Restrict z  /\  zFullFun G x )  <->  E. z
( z  =  ( f  |`  y )  /\  x  =  ( G `  z )
) )
352resex 5011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  |`  y )  e.  _V
36 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( f  |`  y )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )
3736eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( f  |`  y )  ->  (
x  =  ( G `
 z )  <->  x  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
3835, 37ceqsexv 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z ( z  =  ( f  |`  y
)  /\  x  =  ( G `  z ) )  <->  x  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
3929, 34, 383bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
f ,  y >.
(FullFun G  o. Restrict ) x  <-> 
x  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) )
404, 26brcnv 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x `'Apply <. f ,  y
>. 
<-> 
<. f ,  y >.Apply x )
412, 15, 4brapply 24548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
f ,  y >.Apply x 
<->  x  =  ( f `
 y ) )
4240, 41bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x `'Apply <. f ,  y
>. 
<->  x  =  ( f `
 y ) )
4339, 42anbi12ci 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. f ,  y >.
(FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y >. )  <->  ( x  =  ( f `
 y )  /\  x  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )
4443exbii 1572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x ( <. f ,  y >. (FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. )  <->  E. x ( x  =  ( f `  y )  /\  x  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )
45 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f `
 y )  e. 
_V
46 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  y )  ->  (
x  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
4745, 46ceqsexv 2836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x ( x  =  ( f `  y
)  /\  x  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) )
4844, 47bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x ( <. f ,  y >. (FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
4927, 28, 483bitri 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
5049notbii 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
<. f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) )  <->  -.  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )
5125, 50anbi12i 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  /\  -.  <. f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  ( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
5214, 51bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  ( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
5352exbii 1572 . . . . . . . 8  |-  ( E. y <. f ,  y
>.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  E. y
( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) )
542eldm2 4893 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  E. y <. f ,  y >.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )
55 df-rex 2562 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  dom  f  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  E. y
( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) )
5653, 54, 553bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  E. y  e.  dom  f  -.  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )
57 rexnal 2567 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  dom  f  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  -.  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) )
5856, 57bitr2i 241 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) )  <->  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )
5958con1bii 321 . . . . 5  |-  ( -.  f  e.  dom  (
( `'  _E  o. Domain ) 
\  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
6013, 59anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )
61 anass 630 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  A. y  e. 
dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
6260, 61bitri 240 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
63 eldif 3175 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e. 
dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) ) )
64 df-rex 2562 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x
( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) ) )
65 an12 772 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )
66 df-fn 5274 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  x  <->  ( Fun  f  /\  dom  f  =  x ) )
67 ancom 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  =  x )  <->  ( dom  f  =  x  /\  Fun  f ) )
68 eqcom 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  f  =  x  <->  x  =  dom  f )
6968anbi1i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  f  =  x  /\  Fun  f )  <-> 
( x  =  dom  f  /\  Fun  f ) )
7066, 67, 693bitri 262 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  x  <->  ( x  =  dom  f  /\  Fun  f ) )
7170anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( ( x  =  dom  f  /\  Fun  f )  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )
72 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  =  dom  f  /\  Fun  f )  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
7365, 71, 723bitri 262 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
7473exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )  <->  E. x ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
75 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( x  e.  On  <->  dom  f  e.  On ) )
76 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) )
7775, 76anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( dom  f  e.  On  /\  A. y  e. 
dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
7877anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( ( Fun  f  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) ) )
7922, 78ceqsexv 2836 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
8064, 74, 793bitri 262 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
8162, 63, 803bitr4i 268 . 2  |-  ( f  e.  ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
8281abbi2i 2407 1  |-  ( (
Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164   <.cop 3656   class class class wbr 4039    _E cep 4319   Oncon0 4408   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   Fixcfix 24449   Funscfuns 24451  Domaincdomain 24457  Applycapply 24459  FullFuncfullfn 24464  Restrictcrestrict 24465
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-eprel 4321  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-symdif 24433  df-txp 24466  df-pprod 24467  df-bigcup 24470  df-fix 24471  df-funs 24473  df-singleton 24474  df-singles 24475  df-image 24476  df-cart 24477  df-img 24478  df-domain 24479  df-range 24480  df-cap 24482  df-restrict 24483  df-apply 24485  df-funpart 24486  df-fullfun 24487
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