MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tg1 Unicode version

Theorem tg1 16954
Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tg1  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  C_  U. B
)

Proof of Theorem tg1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5699 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  B  e.  dom  topGen )
2 eltg2 16948 . . 3  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
32simprbda 607 . 2  |-  ( ( B  e.  dom  topGen  /\  A  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A  C_  U. B
)
41, 3mpancom 651 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  C_  U. B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265   U.cuni 3959   dom cdm 4820   ` cfv 5396   topGenctg 13594
This theorem is referenced by:  tgcl  16959  ontgval  25897
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fv 5404  df-topgen 13596
  Copyright terms: Public domain W3C validator