MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tg2 Structured version   Unicode version

Theorem tg2 17022
Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tg2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  B )  /\  C  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C

Proof of Theorem tg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5749 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  B  e.  dom  topGen )
2 eltg2b 17016 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  B  ( y  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
3 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  (
y  e.  x  <->  C  e.  x ) )
43anbi1d 686 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  e.  x  /\  x  C_  A )  <-> 
( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
54rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( E. x  e.  B  ( y  e.  x  /\  x  C_  A )  <->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
65rspccv 3041 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  E. x  e.  B  (
y  e.  x  /\  x  C_  A )  -> 
( C  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
72, 6syl6bi 220 . . 3  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  ->  ( C  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) ) )
81, 7mpcom 34 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( C  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
98imp 419 1  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  B )  /\  C  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   dom cdm 4870   ` cfv 5446   topGenctg 13657
This theorem is referenced by:  tgclb  17027  elcls3  17139  pnfnei  17276  mnfnei  17277  tgcnp  17309  tgcmp  17456  2ndcctbss  17510  2ndcdisj  17511  2ndcomap  17513  dis2ndc  17515  ptpjopn  17636  txlm  17672  flftg  18020  alexsublem  18067  alexsubALT  18074  tmdgsum2  18118  xrge0tsms  18857  xrge0tsmsd  24215  iccllyscon  24929  rellyscon  24930  fnessex  26346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659
  Copyright terms: Public domain W3C validator