MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgclb Unicode version

Theorem tgclb 16724
Description: The property tgcl 16723 can be reversed: if the topology generated by  B is actually a topology, then 
B must be a topological basis. This yields an alternative definition of  TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgclb  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )

Proof of Theorem tgclb
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcl 16723 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
2 0opn 16666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  (/)  e.  ( topGen `  B ) )
3 n0i 3473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  ( topGen `  B )  ->  -.  ( topGen `  B
)  =  (/) )
42, 3syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  -.  ( topGen `  B )  =  (/) )
5 fvprc 5535 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  B )  =  (/) )
64, 5nsyl2 119 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  _V )
7 bastg 16720 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
86, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
98sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
)
108sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( topGen `  B )
)
119, 10anim12dan 810 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  /\  y  e.  ( topGen `  B ) ) )
12 inopn 16661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  x  e.  ( topGen `  B )  /\  y  e.  ( topGen `
 B ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (
topGen `  B ) )
13123expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  ( topGen `  B
)  /\  y  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( topGen `  B )
)
1411, 13syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( topGen `  B ) )
15 tg2 16719 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  ( topGen `  B )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
1615ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ( topGen `  B
)  ->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
1714, 16syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
1817ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
19 isbasis2g 16702 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
206, 19syl 15 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
2118, 20mpbird 223 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  TopBases )
221, 21impbii 180 1  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271   topGenctg 13358   Topctop 16647   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  bastop2  16748  iocpnfordt  16961  icomnfordt  16962  iooordt  16963  tgcn  16998  tgcnp  16999  2ndcctbss  17197  2ndcomap  17200  dis2ndc  17202  flftg  17707  met2ndci  18084  xrtgioo  18328  topfneec  26394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654
  Copyright terms: Public domain W3C validator