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Theorem tgcmp 17464
Description: A topology generated by a basis is compact iff open covers drawn from the basis have finite subcovers. (See also alexsub 18076, which further specializes to subbases, assuming the ultrafilter lemma.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgcmp  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  B
)  e.  Comp  <->  A. y  e.  ~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
) ) )
Distinct variable groups:    y, z, B    y, X, z

Proof of Theorem tgcmp
Dummy variables  t 
f  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5  |-  U. ( topGen `
 B )  = 
U. ( topGen `  B
)
21iscmp 17451 . . . 4  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Comp 
<->  ( ( topGen `  B
)  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  ( topGen `
 B ) ( U. ( topGen `  B
)  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. ( topGen `  B
)  =  U. z
) ) )
32simprbi 451 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Comp  ->  A. y  e.  ~P  ( topGen `  B )
( U. ( topGen `  B )  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. ( topGen `  B
)  =  U. z
) )
4 unitg 17032 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
5 eqtr3 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( topGen `  B
)  =  U. B  /\  X  =  U. B )  ->  U. ( topGen `
 B )  =  X )
64, 5sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  ->  U. ( topGen `  B )  =  X )
76eqeq1d 2444 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( U. ( topGen `  B )  =  U. y 
<->  X  =  U. y
) )
86eqeq1d 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( U. ( topGen `  B )  =  U. z 
<->  X  =  U. z
) )
98rexbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. z  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) )
107, 9imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. z )  <->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) ) )
1110ralbidv 2725 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. y  e. 
~P  ( topGen `  B
) ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. z )  <->  A. y  e.  ~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) ) )
12 bastg 17031 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
1312adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  ->  B  C_  ( topGen `  B
) )
14 sspwb 4413 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  <->  ~P B  C_  ~P ( topGen `  B )
)
1513, 14sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  ->  ~P B  C_  ~P ( topGen `
 B ) )
16 ssralv 3407 . . . . 5  |-  ( ~P B  C_  ~P ( topGen `
 B )  -> 
( A. y  e. 
~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  ->  A. y  e.  ~P  B ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. y  e. 
~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  ->  A. y  e.  ~P  B ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) ) )
1811, 17sylbid 207 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. y  e. 
~P  ( topGen `  B
) ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. z )  ->  A. y  e.  ~P  B ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) ) )
193, 18syl5 30 . 2  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  B
)  e.  Comp  ->  A. y  e.  ~P  B
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
20 elpwi 3807 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~P ( topGen `  B )  ->  u  C_  ( topGen `  B )
)
21 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  X  =  U. u
)
22 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  u  C_  ( topGen `  B
) )
2322sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  t  e.  u
)  ->  t  e.  ( topGen `  B )
)
2423adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( t  e.  u  /\  y  e.  t ) )  -> 
t  e.  ( topGen `  B ) )
25 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( t  e.  u  /\  y  e.  t ) )  -> 
y  e.  t )
26 tg2 17030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  ( topGen `  B )  /\  y  e.  t )  ->  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) )
2724, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( t  e.  u  /\  y  e.  t ) )  ->  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) )
2827expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  t  e.  u
)  ->  ( y  e.  t  ->  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) ) )
2928reximdva 2818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( E. t  e.  u  y  e.  t  ->  E. t  e.  u  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) ) )
30 eluni2 4019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  U. u  <->  E. t  e.  u  y  e.  t )
31 elunirab 4028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  <->  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  E. t  e.  u  w  C_  t
) )
32 r19.42v 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. t  e.  u  ( y  e.  w  /\  w  C_  t )  <->  ( y  e.  w  /\  E. t  e.  u  w  C_  t
) )
3332rexbii 2730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. w  e.  B  E. t  e.  u  (
y  e.  w  /\  w  C_  t )  <->  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  E. t  e.  u  w  C_  t
) )
34 rexcom 2869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. w  e.  B  E. t  e.  u  (
y  e.  w  /\  w  C_  t )  <->  E. t  e.  u  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) )
3531, 33, 343bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  <->  E. t  e.  u  E. w  e.  B  ( y  e.  w  /\  w  C_  t ) )
3629, 30, 353imtr4g 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( y  e.  U. u  ->  y  e.  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } ) )
3736ssrdv 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  U. u  C_  U. {
w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
3821, 37eqsstrd 3382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  X  C_  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
39 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  C_  B
4039unissi 4038 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  C_  U. B
41 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  X  =  U. B )
4240, 41syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  C_  X )
4338, 42eqssd 3365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  X  =  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
44 elpw2g 4363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  e.  ~P B 
<->  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  C_  B ) )
4544ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  e.  ~P B  <->  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  C_  B ) )
4639, 45mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  ->  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  e.  ~P B )
47 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  U. y  =  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
4847eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  ( X  = 
U. y  <->  X  =  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } ) )
49 pweq 3802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  ~P y  =  ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
5049ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  ( ~P y  i^i  Fin )  =  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) )
5150rexeqdv 2911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z  <->  E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
5248, 51imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  ( ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  <->  ( X  = 
U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
5352rspcv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  e.  ~P B  ->  ( A. y  e.  ~P  B
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  ( X  =  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
5446, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( A. y  e. 
~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( X  =  U. { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
5543, 54mpid 39 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( A. y  e. 
~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
56 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ~P {
w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  <->  ( z  C_  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  /\  z  e.  Fin )
)
5756simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ~P {
w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
5857ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  -> 
z  e.  Fin )
5956simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ~P {
w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  ->  z  C_  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
6059ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  -> 
z  C_  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } )
61 ssrab 3421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t } 
<->  ( z  C_  B  /\  A. w  e.  z  E. t  e.  u  w  C_  t ) )
6261simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  ->  A. w  e.  z  E. t  e.  u  w  C_  t )
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  ->  A. w  e.  z  E. t  e.  u  w  C_  t )
64 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( f `  w )  ->  (
w  C_  t  <->  w  C_  (
f `  w )
) )
6564ac6sfi 7351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  A. w  e.  z  E. t  e.  u  w  C_  t )  ->  E. f
( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )
6658, 63, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. f ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  ( f `  w
) ) )
67 frn 5597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : z --> u  ->  ran  f  C_  u )
6867ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  ran  f  C_  u )
69 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : z --> u  -> 
f  Fn  z )
70 dffn4 5659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  z  <->  f :
z -onto-> ran  f )
7169, 70sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : z --> u  -> 
f : z -onto-> ran  f )
7271adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
)  ->  f :
z -onto-> ran  f )
73 fofi 7392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  f : z -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
7458, 72, 73syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  ran  f  e.  Fin )
75 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  f  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  u  /\  ran  f  e.  Fin ) )
7668, 74, 75sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  ran  f  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )
77 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  X  =  U. z )
78 uniiun 4144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. z  =  U_ w  e.  z  w
79 ss2iun 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  z  w  C_  ( f `  w
)  ->  U_ w  e.  z  w  C_  U_ w  e.  z  ( f `  w ) )
8078, 79syl5eqss 3392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  z  w  C_  ( f `  w
)  ->  U. z  C_ 
U_ w  e.  z  ( f `  w
) )
8180ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  U. z  C_ 
U_ w  e.  z  ( f `  w
) )
82 fniunfv 5994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  z  ->  U_ w  e.  z  ( f `  w )  =  U. ran  f )
8369, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : z --> u  ->  U_ w  e.  z 
( f `  w
)  =  U. ran  f )
8483ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  U_ w  e.  z  ( f `  w )  =  U. ran  f )
8581, 84sseqtrd 3384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  U. z  C_ 
U. ran  f )
8677, 85eqsstrd 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  X  C_ 
U. ran  f )
8768unissd 4039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  U. ran  f  C_  U. u )
8821ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  X  =  U. u )
8987, 88sseqtr4d 3385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  U. ran  f  C_  X )
9086, 89eqssd 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  X  =  U. ran  f )
91 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ran  f  ->  U. v  =  U. ran  f )
9291eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ran  f  -> 
( X  =  U. v 
<->  X  =  U. ran  f ) )
9392rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ran  f )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v )
9476, 90, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  /\  ( f : z --> u  /\  A. w  e.  z  w  C_  (
f `  w )
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v )
9566, 94exlimddv 1648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  X  =  U. B )  /\  (
u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  /\  ( z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. v
)
9695rexlimdvaa 2831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P { w  e.  B  |  E. t  e.  u  w  C_  t }  i^i  Fin ) X  =  U. z  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. v ) )
9755, 96syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  X  =  U. u ) )  -> 
( A. y  e. 
~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) )
9897expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  u  C_  ( topGen `
 B ) )  ->  ( X  = 
U. u  ->  ( A. y  e.  ~P  B ( X  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. v
) ) )
9998com23 74 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  u  C_  ( topGen `
 B ) )  ->  ( A. y  e.  ~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( X  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) ) )
10020, 99sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  /\  u  e.  ~P ( topGen `  B )
)  ->  ( A. y  e.  ~P  B
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  ( X  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) X  =  U. v ) ) )
101100ralrimdva 2796 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. y  e. 
~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) ) )
102 tgcl 17034 . . . . . 6  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
103102adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( topGen `  B )  e.  Top )
1041iscmp 17451 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Comp 
<->  ( ( topGen `  B
)  e.  Top  /\  A. u  e.  ~P  ( topGen `
 B ) ( U. ( topGen `  B
)  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) U. ( topGen `  B
)  =  U. v
) ) )
105104baib 872 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  ( ( topGen `  B )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `
 B ) ( U. ( topGen `  B
)  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) U. ( topGen `  B
)  =  U. v
) ) )
106103, 105syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  B
)  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  B
) ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. v ) ) )
1076eqeq1d 2444 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( U. ( topGen `  B )  =  U. u 
<->  X  =  U. u
) )
1086eqeq1d 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( U. ( topGen `  B )  =  U. v 
<->  X  =  U. v
) )
109108rexbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. v  <->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) )
110107, 109imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. v )  <->  ( X  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) ) )
111110ralbidv 2725 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. u  e. 
~P  ( topGen `  B
) ( U. ( topGen `
 B )  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 B )  = 
U. v )  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) ) )
112106, 111bitrd 245 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  B
)  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  B
) ( X  = 
U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) X  = 
U. v ) ) )
113101, 112sylibrd 226 . 2  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. y  e. 
~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( topGen `  B )  e.  Comp ) )
11419, 113impbid 184 1  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  B
)  e.  Comp  <->  A. y  e.  ~P  B ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   U_ciun 4093   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454   Fincfn 7109   topGenctg 13665   Topctop 16958   TopBasesctb 16962   Compccmp 17449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-fin 7113  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-cmp 17450
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