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Theorem tgcn 16998
Description: The contininuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
tgcn.3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
tgcn.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
tgcn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, F    y, J    y, K    y, X    y, Y
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem tgcn
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 tgcn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 iscn 16981 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
5 tgcn.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
6 topontop 16680 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
85, 7eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( topGen `  B )  e.  Top )
9 tgclb 16724 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
108, 9sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
11 bastg 16720 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
1312, 5sseqtr4d 3228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  K )
14 ssralv 3250 . . . . 5  |-  ( B 
C_  K  ->  ( A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
1513, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
165eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  x  e.  ( topGen `  B
) ) )
17 eltg3 16716 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( x  e.  ( topGen `  B )  <->  E. z ( z  C_  B  /\  x  =  U. z ) ) )
1810, 17syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
topGen `  B )  <->  E. z
( z  C_  B  /\  x  =  U. z ) ) )
1916, 18bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  E. z ( z  C_  B  /\  x  =  U. z ) ) )
20 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
21 topontop 16680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
221, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
23 iunopn 16660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )  ->  U_ y  e.  z 
( `' F "
y )  e.  J
)
2423ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  z 
( `' F "
y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F "
y )  e.  J
) )
2522, 24syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F "
y )  e.  J
) )
2620, 25sylan9r 639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
27 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  U. z  -> 
( `' F "
x )  =  ( `' F " U. z
) )
28 imauni 5788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " U. z
)  =  U_ y  e.  z  ( `' F " y )
2927, 28syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. z  -> 
( `' F "
x )  =  U_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
3029eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. z  -> 
( ( `' F " x )  e.  J  <->  U_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
3130imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. z  -> 
( ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J )  <->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
3226, 31syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  (
x  =  U. z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
3332expimpd 586 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  B  /\  x  =  U. z )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
3433exlimdv 1626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  C_  B  /\  x  =  U. z
)  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
3519, 34sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
3635imp 418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) )
3736ralrimdva 2646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
38 imaeq2 5024 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " y ) )
3938eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' F "
x )  e.  J  <->  ( `' F " y )  e.  J ) )
4039cbvralv 2777 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  <->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )
4137, 40syl6ib 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) )
4215, 41impbid 183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J  <->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
4342anbi2d 684 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
444, 43bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   U.cuni 3843   U_ciun 3921   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   topGenctg 13358   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   TopBasesctb 16651    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  subbascn  17000  txcnmpt  17334  ismtyhmeolem  26631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973
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