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Theorem tgcnp 16999
Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
tgcn.3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
tgcn.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
tgcnp.5  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tgcnp  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, J, y    x, K, y   
x, P, y    ph, x    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 tgcn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 tgcnp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
4 iscnp 16983 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
7 topontop 16680 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
82, 7syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
96, 8eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( topGen `  B )  e.  Top )
10 tgclb 16724 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
119, 10sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
12 bastg 16720 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
1311, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
1413, 6sseqtr4d 3228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  K )
15 ssralv 3250 . . . . 5  |-  ( B 
C_  K  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) )
1614, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
1716anim2d 548 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
185, 17sylbid 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
196eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  K  <->  z  e.  ( topGen `  B
) ) )
2019biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  K )  ->  z  e.  ( topGen `  B )
)
21 tg2 16719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( topGen `  B )  /\  ( F `  P )  e.  z )  ->  E. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )
22 r19.29 2696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  E. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. y  e.  B  ( ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z
) ) )
23 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F " x
)  C_  y  /\  y  C_  z )  -> 
( F " x
)  C_  z )
2423expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( F " x
)  C_  y  ->  ( F " x ) 
C_  z ) )
2524anim2d 548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
2625reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  z  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
2726com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  -> 
( y  C_  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
2827imim2i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  ( ( F `  P )  e.  y  ->  ( y 
C_  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
2928imp32 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
)
3029rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  B  ( ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
)
3122, 30syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  E. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
)
3231expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  B  ( ( F `  P
)  e.  y  /\  y  C_  z )  -> 
( A. y  e.  B  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
3321, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( topGen `  B )  /\  ( F `  P )  e.  z )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) )
3433ex 423 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( ( F `  P )  e.  z  ->  ( A. y  e.  B  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
3534com23 72 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( A. y  e.  B  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
3620, 35syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  K )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
3736ralrimdva 2646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  A. z  e.  K  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) ) )
3837anim2d 548 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. z  e.  K  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) ) )
39 iscnp 16983 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. z  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) ) )
401, 2, 3, 39syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) ) ) )
4138, 40sylibrd 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
) )
4218, 41impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   topGenctg 13358   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   TopBasesctb 16651    CnP ccnp 16971
This theorem is referenced by:  txcnp  17330  ptcnp  17332  metcnp3  18102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cnp 16974
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