Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcnp Structured version   Unicode version

Theorem tgcnp 17317
 Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 TopOn
tgcn.3
tgcn.4 TopOn
tgcnp.5
Assertion
Ref Expression
tgcnp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4 TopOn
2 tgcn.4 . . . 4 TopOn
3 tgcnp.5 . . . 4
4 iscnp 17301 . . . 4 TopOn TopOn
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 . . 3
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9
7 topontop 16991 . . . . . . . . . 10 TopOn
82, 7syl 16 . . . . . . . . 9
96, 8eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8
10 tgclb 17035 . . . . . . . 8
119, 10sylibr 204 . . . . . . 7
12 bastg 17031 . . . . . . 7
1311, 12syl 16 . . . . . 6
1413, 6sseqtr4d 3385 . . . . 5
15 ssralv 3407 . . . . 5
1614, 15syl 16 . . . 4
1716anim2d 549 . . 3
185, 17sylbid 207 . 2
196eleq2d 2503 . . . . . . 7
2019biimpa 471 . . . . . 6
21 tg2 17030 . . . . . . . . 9
22 r19.29 2846 . . . . . . . . . . 11
23 sstr 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2423expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524anim2d 549 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625reximdv 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726com12 29 . . . . . . . . . . . . . 14
2827imim2i 14 . . . . . . . . . . . . 13
2928imp32 423 . . . . . . . . . . . 12
3029rexlimivw 2826 . . . . . . . . . . 11
3122, 30syl 16 . . . . . . . . . 10
3231expcom 425 . . . . . . . . 9
3321, 32syl 16 . . . . . . . 8
3433ex 424 . . . . . . 7
3534com23 74 . . . . . 6
3620, 35syl 16 . . . . 5
3736ralrimdva 2796 . . . 4
3837anim2d 549 . . 3
39 iscnp 17301 . . . 4 TopOn TopOn
401, 2, 3, 39syl3anc 1184 . . 3
4138, 40sylibrd 226 . 2
4218, 41impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   wss 3320  cima 4881  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  ctg 13665  ctop 16958  TopOnctopon 16959  ctb 16962   ccnp 17289 This theorem is referenced by:  txcnp  17652  ptcnp  17654  metcnp3  18570 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cnp 17292
 Copyright terms: Public domain W3C validator