MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdif0 Unicode version

Theorem tgdif0 16746
Description: A generated topology is not affected by the addition or removal of the empty set from the base. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgdif0  |-  ( topGen `  ( B  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  B )

Proof of Theorem tgdif0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indif1 3426 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { (/) } )  i^i  ~P x
)  =  ( ( B  i^i  ~P x
)  \  { (/) } )
21unieqi 3853 . . . . . 6  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x )  =  U. ( ( B  i^i  ~P x )  \  { (/)
} )
3 unidif0 4199 . . . . . 6  |-  U. (
( B  i^i  ~P x )  \  { (/)
} )  =  U. ( B  i^i  ~P x
)
42, 3eqtri 2316 . . . . 5  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x )  =  U. ( B  i^i  ~P x
)
54sseq2i 3216 . . . 4  |-  ( x 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P x )  <-> 
x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
65abbii 2408 . . 3  |-  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) }  =  { x  |  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) }
7 difexg 4178 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  { (/) } )  e.  _V )
8 tgval 16709 . . . 4  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) } )
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 ( B  \  { (/) } ) )  =  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) } )
10 tgval 16709 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x ) } )
116, 9, 103eqtr4a 2354 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 ( B  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  B
) )
12 ssun1 3351 . . . . . . 7  |-  B  C_  ( B  u.  { (/) } )
13 undif1 3542 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( B  u.  { (/) } )
1412, 13sseqtr4i 3224 . . . . . 6  |-  B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
15 p0ex 4213 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  _V
16 unexg 4537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  \  { (/)
} )  e.  _V  /\ 
{ (/) }  e.  _V )  ->  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )
1715, 16mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( B  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  e.  _V )
18 ssexg 4176 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  /\  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
1914, 17, 18sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  B  e.  _V )
2019con3i 127 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  -.  ( B  \  { (/)
} )  e.  _V )
21 fvprc 5535 . . . 4  |-  ( -.  ( B  \  { (/)
} )  e.  _V  ->  ( topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  (/) )
2220, 21syl 15 . . 3  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  (/) )
23 fvprc 5535 . . 3  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  B )  =  (/) )
2422, 23eqtr4d 2331 . 2  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  B
) )
2511, 24pm2.61i 156 1  |-  ( topGen `  ( B  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   ` cfv 5271   topGenctg 13358
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  18091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360
  Copyright terms: Public domain W3C validator