MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdif0 Unicode version

Theorem tgdif0 16730
Description: A generated topology is not affected by the addition or removal of the empty set from the base. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgdif0  |-  ( topGen `  ( B  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  B )

Proof of Theorem tgdif0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indif1 3413 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { (/) } )  i^i  ~P x
)  =  ( ( B  i^i  ~P x
)  \  { (/) } )
21unieqi 3837 . . . . . 6  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x )  =  U. ( ( B  i^i  ~P x )  \  { (/)
} )
3 unidif0 4183 . . . . . 6  |-  U. (
( B  i^i  ~P x )  \  { (/)
} )  =  U. ( B  i^i  ~P x
)
42, 3eqtri 2303 . . . . 5  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x )  =  U. ( B  i^i  ~P x
)
54sseq2i 3203 . . . 4  |-  ( x 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P x )  <-> 
x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
65abbii 2395 . . 3  |-  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) }  =  { x  |  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) }
7 difexg 4162 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  { (/) } )  e.  _V )
8 tgval 16693 . . . 4  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) } )
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 ( B  \  { (/) } ) )  =  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) } )
10 tgval 16693 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x ) } )
116, 9, 103eqtr4a 2341 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 ( B  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  B
) )
12 ssun1 3338 . . . . . . 7  |-  B  C_  ( B  u.  { (/) } )
13 undif1 3529 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( B  u.  { (/) } )
1412, 13sseqtr4i 3211 . . . . . 6  |-  B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
15 p0ex 4197 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  _V
16 unexg 4521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  \  { (/)
} )  e.  _V  /\ 
{ (/) }  e.  _V )  ->  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )
1715, 16mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( B  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  e.  _V )
18 ssexg 4160 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  /\  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
1914, 17, 18sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  B  e.  _V )
2019con3i 127 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  -.  ( B  \  { (/)
} )  e.  _V )
21 fvprc 5519 . . . 4  |-  ( -.  ( B  \  { (/)
} )  e.  _V  ->  ( topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  (/) )
2220, 21syl 15 . . 3  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  (/) )
23 fvprc 5519 . . 3  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  B )  =  (/) )
2422, 23eqtr4d 2318 . 2  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  B
) )
2511, 24pm2.61i 156 1  |-  ( topGen `  ( B  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255   topGenctg 13342
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  18075
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344
  Copyright terms: Public domain W3C validator