Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdif0 Structured version   Unicode version

Theorem tgdif0 17049
 Description: A generated topology is not affected by the addition or removal of the empty set from the base. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgdif0

Proof of Theorem tgdif0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indif1 3577 . . . . . . 7
21unieqi 4017 . . . . . 6
3 unidif0 4364 . . . . . 6
42, 3eqtri 2455 . . . . 5
54sseq2i 3365 . . . 4
65abbii 2547 . . 3
7 difexg 4343 . . . 4
8 tgval 17012 . . . 4
97, 8syl 16 . . 3
10 tgval 17012 . . 3
116, 9, 103eqtr4a 2493 . 2
12 ssun1 3502 . . . . . . 7
13 undif1 3695 . . . . . . 7
1412, 13sseqtr4i 3373 . . . . . 6
15 p0ex 4378 . . . . . . 7
16 unexg 4702 . . . . . . 7
1715, 16mpan2 653 . . . . . 6
18 ssexg 4341 . . . . . 6
1914, 17, 18sylancr 645 . . . . 5
2019con3i 129 . . . 4
21 fvprc 5714 . . . 4
2220, 21syl 16 . . 3
23 fvprc 5714 . . 3
2422, 23eqtr4d 2470 . 2
2511, 24pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  csn 3806  cuni 4007  cfv 5446  ctg 13657 This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  18551 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659
 Copyright terms: Public domain W3C validator