MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfiss Structured version   Unicode version

Theorem tgfiss 17049
Description: If a subbase is included into a topology, so is the generated topology. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgfiss  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  J )

Proof of Theorem tgfiss
StepHypRef Expression
1 fiss 7422 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  J ) )
2 fitop 16966 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( fi `  J )  =  J )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  J
)  =  J )
41, 3sseqtrd 3377 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  A
)  C_  J )
5 tgss 17026 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( fi `  A ) 
C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  ( topGen `  J )
)
64, 5syldan 457 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  ( topGen `  J )
)
7 tgtop 17031 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
87adantr 452 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  J )  =  J )
96, 8sseqtrd 3377 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3313   ` cfv 5447   ficfi 7408   topGenctg 13658   Topctop 16951
This theorem is referenced by:  ordtrest  17259  ordtrest2  17261  lecldbas  17276  xkoptsub  17679  xkopt  17680  topjoin  26386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-en 7103  df-fin 7106  df-fi 7409  df-topgen 13660  df-top 16956
  Copyright terms: Public domain W3C validator