MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfiss Unicode version

Theorem tgfiss 16972
Description: If a subbase is included into a topology, so is the generated topology. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgfiss  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  J )

Proof of Theorem tgfiss
StepHypRef Expression
1 fiss 7357 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  J ) )
2 fitop 16889 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( fi `  J )  =  J )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  J
)  =  J )
41, 3sseqtrd 3320 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  A
)  C_  J )
5 tgss 16949 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( fi `  A ) 
C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  ( topGen `  J )
)
64, 5syldan 457 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  ( topGen `  J )
)
7 tgtop 16954 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
87adantr 452 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  J )  =  J )
96, 8sseqtrd 3320 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   ` cfv 5387   ficfi 7343   topGenctg 13585   Topctop 16874
This theorem is referenced by:  ordtrest  17181  ordtrest2  17183  lecldbas  17198  xkoptsub  17600  xkopt  17601  topjoin  26078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-fin 7042  df-fi 7344  df-topgen 13587  df-top 16879
  Copyright terms: Public domain W3C validator