MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgidm Structured version   Unicode version

Theorem tgidm 17045
Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgidm  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 ( topGen `  B
) )  =  (
topGen `  B ) )

Proof of Theorem tgidm
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
2 eltg3 17027 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
_V  ->  ( x  e.  ( topGen `  ( topGen `  B ) )  <->  E. y
( y  C_  ( topGen `
 B )  /\  x  =  U. y
) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  ( x  e.  ( topGen `  ( topGen `
 B ) )  <->  E. y ( y  C_  ( topGen `  B )  /\  x  =  U. y ) )
4 uniiun 4144 . . . . . . . . . 10  |-  U. y  =  U_ z  e.  y  z
5 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  y  C_  ( topGen `  B )
)
65sselda 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B ) )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  ( topGen `  B ) )
7 eltg4i 17025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( topGen `  B
)  ->  z  =  U. ( B  i^i  ~P z ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B ) )  /\  z  e.  y )  ->  z  =  U. ( B  i^i  ~P z ) )
98iuneq2dv 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U_ z  e.  y  z  =  U_ z  e.  y  U. ( B  i^i  ~P z
) )
104, 9syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. y  =  U_ z  e.  y 
U. ( B  i^i  ~P z ) )
11 iuncom4 4100 . . . . . . . . 9  |-  U_ z  e.  y  U. ( B  i^i  ~P z )  =  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )
1210, 11syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. y  =  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z ) )
13 inss1 3561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ~P z ) 
C_  B
1413rgenw 2773 . . . . . . . . . . 11  |-  A. z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B
15 iunss 4132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z ) 
C_  B  <->  A. z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B )
1614, 15mpbir 201 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B
1716a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B
)
18 eltg3i 17026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z
)  C_  B )  ->  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  e.  (
topGen `  B ) )
1917, 18sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  e.  ( topGen `  B
) )
2012, 19eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. y  e.  ( topGen `  B )
)
21 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  U. y  e.  ( topGen `  B )
) )
2220, 21syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  (
x  =  U. y  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
2322expimpd 587 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  (
( y  C_  ( topGen `
 B )  /\  x  =  U. y
)  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
2423exlimdv 1646 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. y ( y  C_  ( topGen `  B )  /\  x  =  U. y )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
253, 24syl5bi 209 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( topGen `  B )
)  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
2625ssrdv 3354 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 ( topGen `  B
) )  C_  ( topGen `
 B ) )
27 bastg 17031 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
28 tgss 17033 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  _V  /\  B  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  B
) ) )
291, 27, 28sylancr 645 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  ( topGen `  B ) ) )
3026, 29eqssd 3365 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 ( topGen `  B
) )  =  (
topGen `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   U_ciun 4093   ` cfv 5454   topGenctg 13665
This theorem is referenced by:  tgss3  17051  txbasval  17638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-topgen 13667
  Copyright terms: Public domain W3C validator