MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgidm Unicode version

Theorem tgidm 16718
Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgidm  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 ( topGen `  B
) )  =  (
topGen `  B ) )

Proof of Theorem tgidm
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
2 eltg3 16700 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
_V  ->  ( x  e.  ( topGen `  ( topGen `  B ) )  <->  E. y
( y  C_  ( topGen `
 B )  /\  x  =  U. y
) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  ( x  e.  ( topGen `  ( topGen `
 B ) )  <->  E. y ( y  C_  ( topGen `  B )  /\  x  =  U. y ) )
4 uniiun 3955 . . . . . . . . . 10  |-  U. y  =  U_ z  e.  y  z
5 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  y  C_  ( topGen `  B )
)
65sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B ) )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  ( topGen `  B ) )
7 eltg4i 16698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( topGen `  B
)  ->  z  =  U. ( B  i^i  ~P z ) )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B ) )  /\  z  e.  y )  ->  z  =  U. ( B  i^i  ~P z ) )
98iuneq2dv 3926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U_ z  e.  y  z  =  U_ z  e.  y  U. ( B  i^i  ~P z
) )
104, 9syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. y  =  U_ z  e.  y 
U. ( B  i^i  ~P z ) )
11 iuncom4 3912 . . . . . . . . 9  |-  U_ z  e.  y  U. ( B  i^i  ~P z )  =  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )
1210, 11syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. y  =  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z ) )
13 inss1 3389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ~P z ) 
C_  B
1413rgenw 2610 . . . . . . . . . . 11  |-  A. z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B
15 iunss 3943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z ) 
C_  B  <->  A. z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B )
1614, 15mpbir 200 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B
1716a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B
)
18 eltg3i 16699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z
)  C_  B )  ->  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  e.  (
topGen `  B ) )
1917, 18sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  e.  ( topGen `  B
) )
2012, 19eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. y  e.  ( topGen `  B )
)
21 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  U. y  e.  ( topGen `  B )
) )
2220, 21syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  (
x  =  U. y  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
2322expimpd 586 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  (
( y  C_  ( topGen `
 B )  /\  x  =  U. y
)  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
2423exlimdv 1664 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. y ( y  C_  ( topGen `  B )  /\  x  =  U. y )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
253, 24syl5bi 208 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( topGen `  B )
)  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
2625ssrdv 3185 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 ( topGen `  B
) )  C_  ( topGen `
 B ) )
27 bastg 16704 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
28 tgss 16706 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  _V  /\  B  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  B
) ) )
291, 27, 28sylancr 644 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  ( topGen `  B ) ) )
3026, 29eqssd 3196 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 ( topGen `  B
) )  =  (
topGen `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905   ` cfv 5255   topGenctg 13342
This theorem is referenced by:  tgss3  16724  txbasval  17301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344
  Copyright terms: Public domain W3C validator