MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgidm Unicode version

Theorem tgidm 16734
Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgidm  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 ( topGen `  B
) )  =  (
topGen `  B ) )

Proof of Theorem tgidm
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
2 eltg3 16716 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
_V  ->  ( x  e.  ( topGen `  ( topGen `  B ) )  <->  E. y
( y  C_  ( topGen `
 B )  /\  x  =  U. y
) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  ( x  e.  ( topGen `  ( topGen `
 B ) )  <->  E. y ( y  C_  ( topGen `  B )  /\  x  =  U. y ) )
4 uniiun 3971 . . . . . . . . . 10  |-  U. y  =  U_ z  e.  y  z
5 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  y  C_  ( topGen `  B )
)
65sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B ) )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  ( topGen `  B ) )
7 eltg4i 16714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( topGen `  B
)  ->  z  =  U. ( B  i^i  ~P z ) )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B ) )  /\  z  e.  y )  ->  z  =  U. ( B  i^i  ~P z ) )
98iuneq2dv 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U_ z  e.  y  z  =  U_ z  e.  y  U. ( B  i^i  ~P z
) )
104, 9syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. y  =  U_ z  e.  y 
U. ( B  i^i  ~P z ) )
11 iuncom4 3928 . . . . . . . . 9  |-  U_ z  e.  y  U. ( B  i^i  ~P z )  =  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )
1210, 11syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. y  =  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z ) )
13 inss1 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ~P z ) 
C_  B
1413rgenw 2623 . . . . . . . . . . 11  |-  A. z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B
15 iunss 3959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z ) 
C_  B  <->  A. z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B )
1614, 15mpbir 200 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B
1716a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  C_  B
)
18 eltg3i 16715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z
)  C_  B )  ->  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  e.  (
topGen `  B ) )
1917, 18sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. U_ z  e.  y  ( B  i^i  ~P z )  e.  ( topGen `  B
) )
2012, 19eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. y  e.  ( topGen `  B )
)
21 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  U. y  e.  ( topGen `  B )
) )
2220, 21syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  C_  ( topGen `  B
) )  ->  (
x  =  U. y  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
2322expimpd 586 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  (
( y  C_  ( topGen `
 B )  /\  x  =  U. y
)  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
2423exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. y ( y  C_  ( topGen `  B )  /\  x  =  U. y )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
253, 24syl5bi 208 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( topGen `  B )
)  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
2625ssrdv 3198 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 ( topGen `  B
) )  C_  ( topGen `
 B ) )
27 bastg 16720 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
28 tgss 16722 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  _V  /\  B  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  B
) ) )
291, 27, 28sylancr 644 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  ( topGen `  B ) ) )
3026, 29eqssd 3209 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 ( topGen `  B
) )  =  (
topGen `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   U_ciun 3921   ` cfv 5271   topGenctg 13358
This theorem is referenced by:  tgss3  16740  txbasval  17317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360
  Copyright terms: Public domain W3C validator