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Theorem tgioo 18698
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
tgioo.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables  x  y  z  a  b 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
21rexmet 18693 . . 3  |-  D  e.  ( * Met `  RR )
3 tgioo.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnval 18358 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  RR )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
52, 4ax-mp 8 . 2  |-  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
61blssioo 18697 . . 3  |-  ran  ( ball `  D )  C_  ran  (,)
7 elssuni 3985 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
8 unirnioo 10936 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ran  (,)
97, 8syl6sseqr 3338 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
10 retopbas 18665 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ran  (,)  e.  TopBases )
12 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  v  e.  ran  (,) )
139sselda 3291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  RR )
14 1re 9023 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
151bl2ioo 18694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 )  =  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
1614, 15mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
17 peano2rem 9299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
1817rexrd 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
19 peano2re 9171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
2019rexrd 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
21 ioof 10934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
22 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
24 fnovrn 6160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  (
x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2523, 24mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2618, 20, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2716, 26eqeltrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,) )
2813, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ( x (
ball `  D )
1 )  e.  ran  (,) )
29 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  v )
30 1rp 10548 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
31 blcntr 18338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  RR )  /\  x  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
322, 30, 31mp3an13 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3313, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
34 elin 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  <->  ( x  e.  v  /\  x  e.  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )
3529, 33, 34sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( v  i^i  ( x ( ball `  D
) 1 ) ) )
36 basis2 16939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  v  e.  ran  (,) )  /\  ( ( x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,)  /\  x  e.  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )
3711, 12, 28, 35, 36syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
38 ovelrn 6161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b ) ) )
3923, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  z  =  ( a (,) b ) )
40 eleq2 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a (,) b
) ) )
41 sseq1 3312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  <->  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
4240, 41anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) ) )
43 inss2 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 )
44 sstr 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4543, 44mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( x (
ball `  D )
1 ) )
47 elioore 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  e.  RR )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
4948, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
5046, 49sseqtrd 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
51 dfss 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  <->  ( a (,) b )  =  ( ( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) ) )
5250, 51sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) ) )
53 eliooxr 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
5418, 20jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
5547, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
56 iooin 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  - 
1 )  e.  RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR* )
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
5753, 55, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
5857adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
5952, 58eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
60 mnfxr 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -oo  e.  RR*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
6248, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
6353adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
6463simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  a  e.  RR* )
65 ifcl 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR* )
6662, 64, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR* )
6763simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  b  e.  RR* )
6848, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
6968rexrd 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
70 ifcl 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )
7167, 69, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )
7247, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
7372adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
74 mnflt 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  -  1 )  e.  RR  ->  -oo  <  ( x  -  1 ) )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  -oo  <  ( x  -  1 ) )
76 xrmax2 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
x  -  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  -  1 )  <_  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
7764, 62, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  <_  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
7861, 62, 66, 75, 77xrltletrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  -oo  <  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) )
79 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( a (,) b
) )
8079, 59eleqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
81 eliooxr 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* ) )
82 ne0i 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
83 ioon0 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  =/=  (/)  <->  if (
a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
8482, 83syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
8581, 84mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  < 
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
8680, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
87 xrre2 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  /\  if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )  ->  if (
a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR )
8861, 66, 71, 78, 86, 87syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR )
89 mnfle 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR*  ->  -oo 
<_  if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
9066, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  -oo  <_  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) )
9161, 66, 71, 90, 86xrlelttrd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  -oo  <  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
92 xrmin2 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) )
9367, 69, 92syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) )
94 xrre 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) )  e. 
RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR )  /\  (  -oo  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) )  /\  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) ) )  ->  if (
b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )
9571, 68, 91, 93, 94syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )
961ioo2blex 18696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9788, 95, 96syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9859, 97eqeltrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  e.  ran  ( ball `  D ) )
99 inss1 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v
100 sstr 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
10199, 100mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
103 sseq1 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  v  <->  ( a (,) b )  C_  v
) )
10440, 103anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  ( x  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
105104rspcev 2995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( x  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
10698, 79, 102, 105syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
107 blssex 18347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v )  <->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1082, 48, 107sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
109106, 108mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
11042, 109syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( a (,) b )  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
112111rexlimivv 2778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
113112imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  /\  (
x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) y )  C_  v )
11439, 113sylanb 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ran  (,)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
115114rexlimiva 2768 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
11637, 115syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
117116ralrimiva 2732 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D
) y )  C_  v )
1183elmopn2 18365 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  RR )  ->  (
v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
1192, 118ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1209, 117, 119sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  J )
121120ssriv 3295 . . . 4  |-  ran  (,)  C_  J
122121, 5sseqtri 3323 . . 3  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
123 2basgen 16978 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  D
)  C_  ran  (,)  /\  ran  (,)  C_  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) ) )  -> 
( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  =  ( topGen `  ran  (,) )
)
1246, 122, 123mp2an 654 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
1255, 124eqtr2i 2408 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650    i^i cin 3262    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ifcif 3682   ~Pcpw 3742   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    X. cxp 4816   ran crn 4819    |` cres 4820    o. ccom 4822    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   1c1 8924    + caddc 8926    -oocmnf 9051   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   RR+crp 10544   (,)cioo 10848   abscabs 11966   topGenctg 13592   * Metcxmt 16612   ballcbl 16614   MetOpencmopn 16617   TopBasesctb 16885
This theorem is referenced by:  qdensere2  18699  rehaus  18701  resubmet  18704  tgioo2  18705  xrsmopn  18714  iccntr  18723  icccmplem3  18726  reconnlem2  18729  opnreen  18733  metdscn2  18758  evthicc  19223  opnmbllem  19360  dvlip2  19746  lhop  19767  dvcnvre  19770  nmcvcn  22039  opnrebl  26014  opnrebl2  26015  reheibor  26239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-bases 16888
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