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Theorem tgioo 18302
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
tgioo.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables  x  y  z  a  b 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
21rexmet 18297 . . 3  |-  D  e.  ( * Met `  RR )
3 tgioo.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnval 17984 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  RR )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
52, 4ax-mp 8 . 2  |-  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
61blssioo 18301 . . 3  |-  ran  ( ball `  D )  C_  ran  (,)
7 elssuni 3855 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
8 unirnioo 10743 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ran  (,)
97, 8syl6sseqr 3225 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
10 retopbas 18269 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
1110a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ran  (,)  e.  TopBases )
12 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  v  e.  ran  (,) )
139sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  RR )
14 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
151bl2ioo 18298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 )  =  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
1614, 15mpan2 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
17 peano2rem 9113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
1817rexrd 8881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
19 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
2019rexrd 8881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
21 ioof 10741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
22 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
24 fnovrn 5995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  (
x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2523, 24mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2618, 20, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2716, 26eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,) )
2813, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ( x (
ball `  D )
1 )  e.  ran  (,) )
29 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  v )
30 1rp 10358 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
31 blcntr 17964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  RR )  /\  x  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
322, 30, 31mp3an13 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3313, 32syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
34 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  <->  ( x  e.  v  /\  x  e.  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )
3529, 33, 34sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( v  i^i  ( x ( ball `  D
) 1 ) ) )
36 basis2 16689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  v  e.  ran  (,) )  /\  ( ( x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,)  /\  x  e.  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )
3711, 12, 28, 35, 36syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
38 ovelrn 5996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b ) ) )
3923, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  z  =  ( a (,) b ) )
40 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a (,) b
) ) )
41 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  <->  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
4240, 41anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) ) )
43 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 )
44 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4543, 44mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( x (
ball `  D )
1 ) )
47 elioore 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  e.  RR )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
4948, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
5046, 49sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
51 dfss 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  <->  ( a (,) b )  =  ( ( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) ) )
5250, 51sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) ) )
53 eliooxr 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
5418, 20jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
5547, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
56 iooin 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  - 
1 )  e.  RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR* )
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
5753, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
5952, 58eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
60 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -oo  e.  RR*
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  -oo  e.  RR* )
6248, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
6353adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
6463simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  a  e.  RR* )
65 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR* )
6662, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR* )
6763simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  b  e.  RR* )
6848, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
6968rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
70 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )
7167, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )
7247, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
74 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  -  1 )  e.  RR  ->  -oo  <  ( x  -  1 ) )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  -oo  <  ( x  -  1 ) )
76 xrmax2 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
x  -  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  -  1 )  <_  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
7764, 62, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  <_  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
7861, 62, 66, 75, 77xrltletrd 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  -oo  <  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) )
79 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( a (,) b
) )
8079, 59eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
81 eliooxr 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* ) )
82 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
83 ioon0 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  =/=  (/)  <->  if (
a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
8482, 83syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
8581, 84mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  < 
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
8680, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
87 xrre2 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  /\  if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )  ->  if (
a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR )
8861, 66, 71, 78, 86, 87syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR )
89 mnfle 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR*  ->  -oo 
<_  if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
9066, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  -oo  <_  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) )
9161, 66, 71, 90, 86xrlelttrd 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  -oo  <  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
92 xrmin2 10507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) )
9367, 69, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) )
94 xrre 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) )  e. 
RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR )  /\  (  -oo  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) )  /\  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) ) )  ->  if (
b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )
9571, 68, 91, 93, 94syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )
961ioo2blex 18300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9788, 95, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9859, 97eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  e.  ran  ( ball `  D ) )
99 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v
100 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
10199, 100mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
102101adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
103 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  v  <->  ( a (,) b )  C_  v
) )
10440, 103anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  ( x  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
105104rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( x  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
10698, 79, 102, 105syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
107 blssex 17973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v )  <->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1082, 48, 107sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
109106, 108mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
11042, 109syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
111110a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( a (,) b )  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
112111rexlimivv 2672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
113112imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  /\  (
x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) y )  C_  v )
11439, 113sylanb 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ran  (,)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
115114rexlimiva 2662 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
11637, 115syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
117116ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D
) y )  C_  v )
1183elmopn2 17991 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  RR )  ->  (
v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
1192, 118ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1209, 117, 119sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  J )
121120ssriv 3184 . . . 4  |-  ran  (,)  C_  J
122121, 5sseqtri 3210 . . 3  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
123 2basgen 16728 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  D
)  C_  ran  (,)  /\  ran  (,)  C_  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) ) )  -> 
( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  =  ( topGen `  ran  (,) )
)
1246, 122, 123mp2an 653 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
1255, 124eqtr2i 2304 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   abscabs 11719   topGenctg 13342   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372   TopBasesctb 16635
This theorem is referenced by:  qdensere2  18303  rehaus  18305  resubmet  18308  tgioo2  18309  xrsmopn  18318  iccntr  18326  icccmplem3  18329  reconnlem2  18332  opnreen  18336  metdscn2  18361  evthicc  18819  opnmbllem  18956  dvlip2  19342  lhop  19363  dvcnvre  19366  nmcvcn  21268  altretop  25600  opnrebl  26235  opnrebl2  26236  reheibor  26563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-bases 16638
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