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Theorem tgpconcomp 17847
Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 17216) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
tgpconcomp  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem tgpconcomp
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.s . . . . 5  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2 ssrab2 3292 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X
3 sspwuni 4024 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  ~P X  <->  U. { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X )
42, 3mpbi 199 . . . . 5  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  X
51, 4eqsstri 3242 . . . 4  |-  S  C_  X
65a1i 10 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  C_  X
)
7 tgpconcomp.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
8 tgpconcomp.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
97, 8tgptopon 17817 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
10 tgpgrp 17813 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
11 tgpconcomp.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
128, 11grpidcl 14559 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
1310, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  X
)
141concompid 17213 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
159, 13, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  S
)
16 ne0i 3495 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1715, 16syl 15 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  =/=  (/) )
18 df-ima 4739 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  =  ran  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  |`  S )
19 resmpt 5037 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  |`  S )  =  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
205, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  |`  S )  =  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
2120rneqi 4942 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  |`  S )  =  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
2218, 21eqtri 2336 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  =  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
23 imassrn 5062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  C_  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )
2410adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
266sselda 3214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  X )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  y  e.  X )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  X )
29 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
308, 29grpsubcl 14595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) z )  e.  X )
3125, 27, 28, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( -g `  G ) z )  e.  X
)
32 eqid 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
3331, 32fmptd 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : X --> X )
34 frn 5433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : X --> X  ->  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  X )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  X )
3623, 35syl5ss 3224 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) ) " S ) 
C_  X )
378, 11, 29grpsubid 14599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) y )  =  .0.  )
3824, 26, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
y ( -g `  G
) y )  =  .0.  )
39 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
40 ovex 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( -g `  G
) y )  e. 
_V
41 eqid 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
42 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
y ( -g `  G
) z )  =  ( y ( -g `  G ) y ) )
4341, 42elrnmpt1s 4964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  S  /\  ( y ( -g `  G ) y )  e.  _V )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  e.  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) )
4439, 40, 43sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
y ( -g `  G
) y )  e. 
ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
4538, 44eqeltrrd 2391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  .0.  e.  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
4645, 22syl6eleqr 2407 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  .0.  e.  ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S ) )
47 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
48 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
49 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
508, 48, 49, 29grpsubval 14574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )
5126, 50sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( -g `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) )
5251mpteq2dva 4143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )
538, 49grpinvcl 14576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
5424, 53sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X )
558, 49grpinvf 14575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G ) : X --> X )
5610, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G ) : X --> X )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( inv g `  G ) : X --> X )
5857feqmptd 5613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( inv g `  G )  =  ( z  e.  X  |->  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) )
59 eqidd 2317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) ) )
60 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( y ( +g  `  G ) w )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )
6154, 58, 59, 60fmptco 5729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( inv g `  G ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) ) )
6252, 61eqtr4d 2351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  o.  ( inv g `  G ) ) )
637, 49grpinvhmeo 17821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J )
)
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J ) )
65 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )
6665, 8, 48, 7tgplacthmeo 17838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
6726, 66syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
68 hmeoco 17519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J )  /\  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )  -> 
( ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( inv g `  G ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
6964, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( inv g `  G ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )
7062, 69eqeltrd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
71 hmeocn 17507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
73 toponuni 16721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
749, 73syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  X  =  U. J )
7574adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  X  =  U. J )
765, 75syl5sseq 3260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  S  C_ 
U. J )
771concompcon 17214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
789, 13, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
7978adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
8047, 72, 76, 79conima 17207 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S ) )  e. 
Con )
811concompss 17215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S )  C_  X  /\  .0.  e.  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  /\  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S ) )  e.  Con )  -> 
( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S )  C_  S
)
8236, 46, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) ) " S ) 
C_  S )
8322, 82syl5eqssr 3257 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  S )
84 ovex 5925 . . . . . . . 8  |-  ( y ( -g `  G
) z )  e. 
_V
8584, 41fnmpti 5409 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  Fn  S
86 df-f 5296 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S  <->  ( (
z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  Fn  S  /\  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  S )
)
8785, 86mpbiran 884 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S  <->  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) 
C_  S )
8883, 87sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S )
8941fmpt 5719 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  S  (
y ( -g `  G
) z )  e.  S  <->  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) : S --> S )
9088, 89sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  A. z  e.  S  ( y
( -g `  G ) z )  e.  S
)
9190ralrimiva 2660 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( -g `  G ) z )  e.  S )
928, 29issubg4 14687 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  (
y ( -g `  G
) z )  e.  S ) ) )
9310, 92syl 15 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y
( -g `  G ) z )  e.  S
) ) )
946, 17, 91, 93mpbir3and 1135 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
9510adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
96 eqid 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
9796, 49oppginv 14881 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  (oppg
`  G ) ) )
9895, 97syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  (oppg
`  G ) ) )
9998fveq1d 5565 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( ( inv g `  (oppg `  G ) ) `  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )
100 simprll 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  y  e.  X )
1018, 49grpinvinv 14584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  y )
10295, 100, 101syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  y )
10399, 102eqtr3d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  (oppg `  G ) ) `  ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  y )
104103oveq1d 5915 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( y ( +g  `  (oppg `  G
) ) z ) )
105 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
10648, 96, 105oppgplus 14871 . . . . . 6  |-  ( y ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y )
107104, 106syl6eq 2364 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y ) )
1088, 49grpinvcl 14576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
10995, 100, 108syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
110 simprlr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  z  e.  X )
111102oveq1d 5915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G ) z ) )
112 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S )
113111, 112eqeltrd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  e.  S )
114 eqid 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G ~QG  S )  =  ( G ~QG  S )
1158, 49, 48, 114eqgval 14715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( G ~QG  S ) z  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
11695, 5, 115sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  e.  S ) ) )
117109, 110, 113, 116mpbir3and 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z )
1188, 11, 7, 1, 114tgpconcompeqg 17846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )  ->  [ ( ( inv g `  G
) `  y ) ] ( G ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
119109, 118syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
12096oppgtgp 17833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (oppg
`  G )  e. 
TopGrp )
121120adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (oppg `  G
)  e.  TopGrp )
12296, 8oppgbas 14873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
12396, 11oppgid 14878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  (oppg `  G
) )
12496, 7oppgtopn 14875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen `  (oppg
`  G ) )
125 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  ( (oppg
`  G ) ~QG  S )
126122, 123, 124, 1, 125tgpconcompeqg 17846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  X )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
127121, 109, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
128119, 127eqtr4d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  =  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S ) )
129128eleq2d 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
z  e.  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  <->  z  e.  [
( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S ) ) )
130 vex 2825 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
131 fvex 5577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  _V
132130, 131elec 6741 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  [ ( ( inv g `  G
) `  y ) ] ( G ~QG  S )  <-> 
( ( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z )
133130, 131elec 6741 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  [ ( ( inv g `  G
) `  y ) ] ( (oppg `  G
) ~QG 
S )  <->  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( (oppg
`  G ) ~QG  S ) z )
134129, 132, 1333bitr3g 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z  <->  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( (oppg
`  G ) ~QG  S ) z ) )
135117, 134mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z )
136 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  (oppg `  G
) )  =  ( inv g `  (oppg `  G
) )
137122, 136, 105, 125eqgval 14715 . . . . . . . 8  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  (oppg `  G
) ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) ) )
138121, 5, 137sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  (oppg `  G
) ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) ) )
139135, 138mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  (oppg `  G
) ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) )
140139simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  e.  S )
141107, 140eqeltrrd 2391 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
z ( +g  `  G
) y )  e.  S )
142141expr 598 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  ->  ( z
( +g  `  G ) y )  e.  S
) )
143142ralrimivva 2669 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  ->  ( z ( +g  `  G ) y )  e.  S ) )
1448, 48isnsg2 14696 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  ->  ( z ( +g  `  G ) y )  e.  S ) ) )
14594, 143, 144sylanbrc 645 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   {crab 2581   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   ran crn 4727    |` cres 4728   "cima 4729    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   [cec 6700   Basecbs 13195   +g cplusg 13255   ↾t crest 13374   TopOpenctopn 13375   0gc0g 13449   Grpcgrp 14411   inv gcminusg 14412   -gcsg 14414  SubGrpcsubg 14664  NrmSGrpcnsg 14665   ~QG cqg 14666  oppgcoppg 14867  TopOnctopon 16688    Cn ccn 17010   Conccon 17193    Homeo chmeo 17500   TopGrpctgp 17806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-oadd 6525  df-er 6702  df-ec 6704  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-tset 13274  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-plusf 14417  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-subg 14667  df-nsg 14668  df-eqg 14669  df-oppg 14868  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-con 17194  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-tmd 17807  df-tgp 17808
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