Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconcomp Structured version   Unicode version

Theorem tgpconcomp 18134
 Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 17489) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x
tgpconcomp.z
tgpconcomp.j
tgpconcomp.s t
Assertion
Ref Expression
tgpconcomp NrmSGrp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem tgpconcomp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.s . . . . 5 t
2 ssrab2 3420 . . . . . 6 t
3 sspwuni 4168 . . . . . 6 t t
42, 3mpbi 200 . . . . 5 t
51, 4eqsstri 3370 . . . 4
65a1i 11 . . 3
7 tgpconcomp.j . . . . . 6
8 tgpconcomp.x . . . . . 6
97, 8tgptopon 18104 . . . . 5 TopOn
10 tgpgrp 18100 . . . . . 6
11 tgpconcomp.z . . . . . . 7
128, 11grpidcl 14825 . . . . . 6
1310, 12syl 16 . . . . 5
141concompid 17486 . . . . 5 TopOn
159, 13, 14syl2anc 643 . . . 4
16 ne0i 3626 . . . 4
1715, 16syl 16 . . 3
18 df-ima 4883 . . . . . . . 8
19 resmpt 5183 . . . . . . . . . 10
205, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9
2120rneqi 5088 . . . . . . . 8
2218, 21eqtri 2455 . . . . . . 7
23 imassrn 5208 . . . . . . . . 9
2410adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
2524adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
266sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13
2726adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
29 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
308, 29grpsubcl 14861 . . . . . . . . . . . 12
3125, 27, 28, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
32 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
3331, 32fmptd 5885 . . . . . . . . . 10
34 frn 5589 . . . . . . . . . 10
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9
3623, 35syl5ss 3351 . . . . . . . 8
378, 11, 29grpsubid 14865 . . . . . . . . . . 11
3824, 26, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
39 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
40 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11
41 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
42 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42elrnmpt1s 5110 . . . . . . . . . . 11
4439, 40, 43sylancl 644 . . . . . . . . . 10
4538, 44eqeltrrd 2510 . . . . . . . . 9
4645, 22syl6eleqr 2526 . . . . . . . 8
47 eqid 2435 . . . . . . . . 9
48 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15
508, 48, 49, 29grpsubval 14840 . . . . . . . . . . . . . 14
5126, 50sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13
5251mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . . . 12
538, 49grpinvcl 14842 . . . . . . . . . . . . . 14
5424, 53sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13
558, 49grpinvf 14841 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5610, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
5857feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . 13
59 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . 13
60 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13
6154, 58, 59, 60fmptco 5893 . . . . . . . . . . . 12
6252, 61eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . 11
637, 49grpinvhmeo 18108 . . . . . . . . . . . . 13
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
65 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14
6665, 8, 48, 7tgplacthmeo 18125 . . . . . . . . . . . . 13
6726, 66syldan 457 . . . . . . . . . . . 12
68 hmeoco 17796 . . . . . . . . . . . 12
6964, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
7062, 69eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10
71 hmeocn 17784 . . . . . . . . . 10
7270, 71syl 16 . . . . . . . . 9
73 toponuni 16984 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
749, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11
7574adantr 452 . . . . . . . . . 10
765, 75syl5sseq 3388 . . . . . . . . 9
771concompcon 17487 . . . . . . . . . . 11 TopOn t
789, 13, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 t
7978adantr 452 . . . . . . . . 9 t
8047, 72, 76, 79conima 17480 . . . . . . . 8 t
811concompss 17488 . . . . . . . 8 t
8236, 46, 80, 81syl3anc 1184 . . . . . . 7
8322, 82syl5eqssr 3385 . . . . . 6
84 ovex 6098 . . . . . . . 8
8584, 41fnmpti 5565 . . . . . . 7
86 df-f 5450 . . . . . . 7
8785, 86mpbiran 885 . . . . . 6
8883, 87sylibr 204 . . . . 5
8941fmpt 5882 . . . . 5
9088, 89sylibr 204 . . . 4
9190ralrimiva 2781 . . 3
928, 29issubg4 14953 . . . 4 SubGrp
9310, 92syl 16 . . 3 SubGrp
946, 17, 91, 93mpbir3and 1137 . 2 SubGrp
9510adantr 452 . . . . . . . . . 10
96 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 oppg oppg
9796, 49oppginv 15147 . . . . . . . . . 10 oppg
9895, 97syl 16 . . . . . . . . 9 oppg
9998fveq1d 5722 . . . . . . . 8 oppg
100 simprll 739 . . . . . . . . 9
1018, 49grpinvinv 14850 . . . . . . . . 9
10295, 100, 101syl2anc 643 . . . . . . . 8
10399, 102eqtr3d 2469 . . . . . . 7 oppg
104103oveq1d 6088 . . . . . 6 oppg oppg oppg
105 eqid 2435 . . . . . . 7 oppg oppg
10648, 96, 105oppgplus 15137 . . . . . 6 oppg
107104, 106syl6eq 2483 . . . . 5 oppg oppg
1088, 49grpinvcl 14842 . . . . . . . . . 10
10995, 100, 108syl2anc 643 . . . . . . . . 9
110 simprlr 740 . . . . . . . . 9
111102oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10
112 simprr 734 . . . . . . . . . 10
113111, 112eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9
114 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 ~QG ~QG
1158, 49, 48, 114eqgval 14981 . . . . . . . . . 10 ~QG
11695, 5, 115sylancl 644 . . . . . . . . 9 ~QG
117109, 110, 113, 116mpbir3and 1137 . . . . . . . 8 ~QG
1188, 11, 7, 1, 114tgpconcompeqg 18133 . . . . . . . . . . . 12 ~QG t
119109, 118syldan 457 . . . . . . . . . . 11 ~QG t
12096oppgtgp 18120 . . . . . . . . . . . . 13 oppg
121120adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 oppg
12296, 8oppgbas 15139 . . . . . . . . . . . . 13 oppg
12396, 11oppgid 15144 . . . . . . . . . . . . 13 oppg
12496, 7oppgtopn 15141 . . . . . . . . . . . . 13 oppg
125 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13 oppg ~QG oppg ~QG
126122, 123, 124, 1, 125tgpconcompeqg 18133 . . . . . . . . . . . 12 oppg oppg ~QG t
127121, 109, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 oppg ~QG t
128119, 127eqtr4d 2470 . . . . . . . . . 10 ~QG oppg ~QG
129128eleq2d 2502 . . . . . . . . 9 ~QG oppg ~QG
130 vex 2951 . . . . . . . . . 10
131 fvex 5734 . . . . . . . . . 10
132130, 131elec 6936 . . . . . . . . 9 ~QG ~QG
133130, 131elec 6936 . . . . . . . . 9 oppg ~QG oppg ~QG
134129, 132, 1333bitr3g 279 . . . . . . . 8 ~QG oppg ~QG
135117, 134mpbid 202 . . . . . . 7 oppg ~QG
136 eqid 2435 . . . . . . . . 9 oppg oppg
137122, 136, 105, 125eqgval 14981 . . . . . . . 8 oppg oppg ~QG oppg oppg
138121, 5, 137sylancl 644 . . . . . . 7 oppg ~QG oppg oppg
139135, 138mpbid 202 . . . . . 6 oppg oppg
140139simp3d 971 . . . . 5 oppg oppg
141107, 140eqeltrrd 2510 . . . 4
142141expr 599 . . 3
143142ralrimivva 2790 . 2
1448, 48isnsg2 14962 . 2 NrmSGrp SubGrp
14594, 143, 144sylanbrc 646 1 NrmSGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  cuni 4007   class class class wbr 4204   cmpt 4258   crn 4871   cres 4872  cima 4873   ccom 4874   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cec 6895  cbs 13461   cplusg 13521   ↾t crest 13640  ctopn 13641  c0g 13715  cgrp 14677  cminusg 14678  csg 14680  SubGrpcsubg 14930  NrmSGrpcnsg 14931   ~QG cqg 14932  oppgcoppg 15133  TopOnctopon 16951   ccn 17280  ccon 17466   chmeo 17777  ctgp 18093 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-tset 13540  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-plusf 14683  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-nsg 14934  df-eqg 14935  df-oppg 15134  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-con 17467  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-tmd 18094  df-tgp 18095
 Copyright terms: Public domain W3C validator