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Theorem tgpconcomp 18134
Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 17489) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
tgpconcomp  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem tgpconcomp
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.s . . . . 5  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2 ssrab2 3420 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X
3 sspwuni 4168 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  ~P X  <->  U. { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X )
42, 3mpbi 200 . . . . 5  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  X
51, 4eqsstri 3370 . . . 4  |-  S  C_  X
65a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  C_  X
)
7 tgpconcomp.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
8 tgpconcomp.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
97, 8tgptopon 18104 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
10 tgpgrp 18100 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
11 tgpconcomp.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
128, 11grpidcl 14825 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  X
)
141concompid 17486 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
159, 13, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  S
)
16 ne0i 3626 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  =/=  (/) )
18 df-ima 4883 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  =  ran  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  |`  S )
19 resmpt 5183 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  |`  S )  =  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
205, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  |`  S )  =  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
2120rneqi 5088 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  |`  S )  =  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
2218, 21eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  =  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
23 imassrn 5208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  C_  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )
2410adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
2524adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
266sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  X )
2726adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  y  e.  X )
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  X )
29 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
308, 29grpsubcl 14861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) z )  e.  X )
3125, 27, 28, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( -g `  G ) z )  e.  X
)
32 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
3331, 32fmptd 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : X --> X )
34 frn 5589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : X --> X  ->  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  X )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  X )
3623, 35syl5ss 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) ) " S ) 
C_  X )
378, 11, 29grpsubid 14865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) y )  =  .0.  )
3824, 26, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
y ( -g `  G
) y )  =  .0.  )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
40 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( -g `  G
) y )  e. 
_V
41 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
42 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
y ( -g `  G
) z )  =  ( y ( -g `  G ) y ) )
4341, 42elrnmpt1s 5110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  S  /\  ( y ( -g `  G ) y )  e.  _V )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  e.  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) )
4439, 40, 43sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
y ( -g `  G
) y )  e. 
ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
4538, 44eqeltrrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  .0.  e.  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
4645, 22syl6eleqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  .0.  e.  ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S ) )
47 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
48 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
49 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
508, 48, 49, 29grpsubval 14840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )
5126, 50sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( -g `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) )
5251mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )
538, 49grpinvcl 14842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
5424, 53sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X )
558, 49grpinvf 14841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G ) : X --> X )
5610, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G ) : X --> X )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( inv g `  G ) : X --> X )
5857feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( inv g `  G )  =  ( z  e.  X  |->  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) )
59 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) ) )
60 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( y ( +g  `  G ) w )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )
6154, 58, 59, 60fmptco 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( inv g `  G ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) ) )
6252, 61eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  o.  ( inv g `  G ) ) )
637, 49grpinvhmeo 18108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J )
)
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J ) )
65 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )
6665, 8, 48, 7tgplacthmeo 18125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
6726, 66syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
68 hmeoco 17796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J )  /\  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )  -> 
( ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( inv g `  G ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
6964, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( inv g `  G ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )
7062, 69eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
71 hmeocn 17784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
73 toponuni 16984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
749, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  X  =  U. J )
7574adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  X  =  U. J )
765, 75syl5sseq 3388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  S  C_ 
U. J )
771concompcon 17487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
789, 13, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
7978adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
8047, 72, 76, 79conima 17480 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S ) )  e. 
Con )
811concompss 17488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S )  C_  X  /\  .0.  e.  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  /\  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S ) )  e.  Con )  -> 
( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S )  C_  S
)
8236, 46, 80, 81syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) ) " S ) 
C_  S )
8322, 82syl5eqssr 3385 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  S )
84 ovex 6098 . . . . . . . 8  |-  ( y ( -g `  G
) z )  e. 
_V
8584, 41fnmpti 5565 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  Fn  S
86 df-f 5450 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S  <->  ( (
z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  Fn  S  /\  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  S )
)
8785, 86mpbiran 885 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S  <->  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) 
C_  S )
8883, 87sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S )
8941fmpt 5882 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  S  (
y ( -g `  G
) z )  e.  S  <->  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) : S --> S )
9088, 89sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  A. z  e.  S  ( y
( -g `  G ) z )  e.  S
)
9190ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( -g `  G ) z )  e.  S )
928, 29issubg4 14953 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  (
y ( -g `  G
) z )  e.  S ) ) )
9310, 92syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y
( -g `  G ) z )  e.  S
) ) )
946, 17, 91, 93mpbir3and 1137 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
9510adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
96 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
9796, 49oppginv 15147 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  (oppg
`  G ) ) )
9895, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  (oppg
`  G ) ) )
9998fveq1d 5722 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( ( inv g `  (oppg `  G ) ) `  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )
100 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  y  e.  X )
1018, 49grpinvinv 14850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  y )
10295, 100, 101syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  y )
10399, 102eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  (oppg `  G ) ) `  ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  y )
104103oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( y ( +g  `  (oppg `  G
) ) z ) )
105 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
10648, 96, 105oppgplus 15137 . . . . . 6  |-  ( y ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y )
107104, 106syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y ) )
1088, 49grpinvcl 14842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
10995, 100, 108syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
110 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  z  e.  X )
111102oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G ) z ) )
112 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S )
113111, 112eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  e.  S )
114 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G ~QG  S )  =  ( G ~QG  S )
1158, 49, 48, 114eqgval 14981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( G ~QG  S ) z  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
11695, 5, 115sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  e.  S ) ) )
117109, 110, 113, 116mpbir3and 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z )
1188, 11, 7, 1, 114tgpconcompeqg 18133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )  ->  [ ( ( inv g `  G
) `  y ) ] ( G ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
119109, 118syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
12096oppgtgp 18120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (oppg
`  G )  e. 
TopGrp )
121120adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (oppg `  G
)  e.  TopGrp )
12296, 8oppgbas 15139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
12396, 11oppgid 15144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  (oppg `  G
) )
12496, 7oppgtopn 15141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen `  (oppg
`  G ) )
125 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  ( (oppg
`  G ) ~QG  S )
126122, 123, 124, 1, 125tgpconcompeqg 18133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  X )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
127121, 109, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
128119, 127eqtr4d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  =  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S ) )
129128eleq2d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
z  e.  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  <->  z  e.  [
( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S ) ) )
130 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
131 fvex 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  _V
132130, 131elec 6936 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  [ ( ( inv g `  G
) `  y ) ] ( G ~QG  S )  <-> 
( ( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z )
133130, 131elec 6936 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  [ ( ( inv g `  G
) `  y ) ] ( (oppg `  G
) ~QG 
S )  <->  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( (oppg
`  G ) ~QG  S ) z )
134129, 132, 1333bitr3g 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z  <->  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( (oppg
`  G ) ~QG  S ) z ) )
135117, 134mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z )
136 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  (oppg `  G
) )  =  ( inv g `  (oppg `  G
) )
137122, 136, 105, 125eqgval 14981 . . . . . . . 8  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  (oppg `  G
) ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) ) )
138121, 5, 137sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  (oppg `  G
) ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) ) )
139135, 138mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  (oppg `  G
) ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) )
140139simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  e.  S )
141107, 140eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
z ( +g  `  G
) y )  e.  S )
142141expr 599 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  ->  ( z
( +g  `  G ) y )  e.  S
) )
143142ralrimivva 2790 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  ->  ( z ( +g  `  G ) y )  e.  S ) )
1448, 48isnsg2 14962 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  ->  ( z ( +g  `  G ) y )  e.  S ) ) )
14594, 143, 144sylanbrc 646 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   [cec 6895   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678   -gcsg 14680  SubGrpcsubg 14930  NrmSGrpcnsg 14931   ~QG cqg 14932  oppgcoppg 15133  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280   Conccon 17466    Homeo chmeo 17777   TopGrpctgp 18093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-tset 13540  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-plusf 14683  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-nsg 14934  df-eqg 14935  df-oppg 15134  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-con 17467  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-tmd 18094  df-tgp 18095
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